Dynamical inconsistency and conformai covariance of the massless tensor field

Summary

By means of the recently found Lagrangian for the Nordstrom theory of scalar gravity we write down the conformal-invariant field equations of the massless tensor field, as the field equations of the minimal interacting system composed by the spin-2 massless field and the scalar-gravity field. These equations constitute a good example of the well-known complexivies arising when one is dealing with higher-spin (> 1) fields, whether in an external field or interacting with another field. In the present case it is shown that the massless tensor field considered as imbedded in an external scalar field has a different number of degrees of freedom than if it is considered as a part of the whole interacting system. This is achieved by analysing the evolution of a perturbation on a nontrivial background solution (a pure spin-2 plane wave). It is also shown that secondary constraints do not vanish identically as a consequence of the already studied loss of the Ricci-like identity.

Riassunto

Per mezzo del lagrangiano per la teoria di Nordstrøm della gravità scalare, trovato di recente, si scrivono le equazioni di campo conformi invarianti del campo tensoriale senza massa, come equazioni di campo del sistema con interazione minima composto dal campo senza massa con spin 2 e dal campo gravitazionale scalare. Queste equazioni costituiscono un buon esempio delle ben note complessità che insorgono quando ci si occupa di campi con spin maggiore (> 1), sia in un campo esterno ehe in interazione con un altro campo. Nel caso presente si dimostra ehe il campo tensoriale senza massa considerate incastonato in un campo scalare esterno ha un numero diverso di gradi di libertà che quando esso è considerate parte di un intero sistema interagente. Si ottiene ciò analizzando l’evoluzione di una perturbazione su una soluzione di fondo non banale (un’onda piana di spin 2 pura). Si dimostra anche che i vincoli secondari non tendano identicamente a zero in conseguenza delia già studiata perdita dell’identità del tipo di Ricci.

Резюме

С помощью недавно полученного Лагранжиана для теории скалярной гравитации Нордстрёма, мы выписываем конформно-инвариантные полевые уравнения для тензорного поля с нулевой массой, в виде полевых уравнений для слабо взаимодействующей системы, образованной полем со спином 2 и нулевой массой и скалярным гравитационным полем. Эти уравнения представляют пример хорошо известных сложностей, возникающих при рассмотрении полей с высшими спинами (>1), которые либо находятся во внешнем поле, либо взаимодействуют с другим полем. В данном случае показывается, что тензорное поле с нулевой массой, которое рассматривается как находящееся во внешнем скалярном поле, имеет отличное число степеней свободы от того случая, когда это поле рассматривается как часть всей взаимодействующей системы. Это достигается с помощью анализа развития возмущения на нетривиальном фоновом решении (чистая плоская волна со спином 2). Также показывается, что вторичные ограничения не исчезают тождественно, как следствие уже рассмотренного нарушения тождества, типа Риччи.