Poincaré covariance and quantization of zero-mass fields

Summary

Following the work done in a previous paper on the quantization of a potential vectorA ^μ, we find out the consequences of general requirements such as Poincaré covariance and basic quantum mechanics (i.e. existence of a Hilbert space of one-particle states supporting a unitary representation of Poincaré group ℛ) on the quantization of a symmetric tensor fieldh ^μv. While in the case of the electromagnetic potential we had a 2-parameter family of metrics all equivalent to Gupta’s and corresponding to a transverse photon, we obtain here a wide variety of descriptions for the graviton. First we must choose between a graviton possessing helicities 0, ± 2 and a transverse one. Then, we have two different ways of getting rid of the helicities 0: we may suppress them covariantly or « gauge them away ». Previously we had obtained directly a quantification of Maxwell’s equations while, here, we must postulate Einstein linearized equations as an additional requirement which only mildly narrows the above choice.

Riassunto

Proseguendo nel lavoro oggetto di un precedente articolo sulla quantizzazione di un vettore potenzialeA ^μ, si trovano le conseguenze di condizioni generali come la covarianza di Poincaré e la meccanica quantistica di base (cioè l’esistenza di uno spazio di Hilbert di stati di una particella come base di una rappresentazione unitaria del gruppo di Poincaré ℋ) sulla quantizzazione di un campo tensoriale simmetricoh ^μv. Mentre per il potenziale elettromagnetico si aveva una famiglia di metriche dipendenti da 2 parametri tutte equivalenti alla metrica di Gupta e corrispondenti a un fotone trasversale, qui si ottiene una grande varietà di descrizioni per il gravitone. Innanzitutto si può scegliere fra un gravitone con elicità 0, ± 2 e uno trasversale. Quindi, si hanno due diverse maniere per liberarsi delle elicità nulle: si possono sopprimere in forma covariante oppure imponendo l’invarianza di gauge. Infine, mentre si era ottenuta direttamente la quantizzazione delle equazioni di Maxwell, qui si debbano postulare equazioni linearizzate di Einstein come condizione aggiuntiva che restringe solo lievemente la scelta precedente.

Реэюме

Следуя методу, раэвитому в предыдушей работе, посвяшенной квантованию векторного потенциала,A ^μ, мы выводим следствия обших требований, таких как ковариантность Пуанкаре и исходная квантовая механика (т.е. сушествование пространства Гильберта для одночастичных состояний, поддерживаюших унитарное представление группы Пуанкаре, ℋ), для квантования симметричного тенэорного поляh ^μv. В то время, как в случае злектромагнитного потенциала, мы имели двух-параметрическое семейство метрик, зквивалентных метрике Гупта и метрике, соответствуюшей поперечному фотону, эдесь мы получаем щирокое многообраэие описаний гравитона. Сначала мы должны выбрать между гравитоном, обладаюшим спираль-ностями О, ±2 и поперечной спиральностью. Затем мы имеем два раэличных способа, чтобы освободиться от спиральностей 0: мы можем подавить их ковариантно или «калибровочным обраэом». Таким обраэом, если в первой работе мы получили непосредственно квантование уравнений Максвелла, то в зтой работе мы должны постулировать линеариэованные уравнения Эйнщтейна как дополнительное требование, которое лищь слабо сужает выщеупомянутый выбор.