Renormalization group representation and the gell-mann-low and callan-symanzik equations for the photon propagator

Summary

Admitting that the photon propagator is a representation of the renormalization group, we first determine which specific property of QED is implied by the existence of the G-M-L and C-S equations in perturbation theory. After elucidating the different roles played by the G-M-L and C-S functions, ψ and β, in the determination of the photon propagator, we indicate the conditions under which β(α) is or is not related to its asymptotic behaviour. Taking a global point of view, we show that the nullity of the second member of the C-S equation at infinity is implied by unitarity, except in one special case. The global expression of β(α) leads us to classify the photon propagators into two different classes. In the first, the G-M-L equation gives a faithful representation of their asymptotic behaviour. In the second, which we shall study in detail, the bare charge is a function of α, β(α) ≡0, and the perturbation theory determines fallacious β and ψ functions.

Riassunto

Ammettendo che il propagatore fotonico sia una rappresentazione del gruppo di rinormalizzazione, si determina prima quale specifica proprietà dell’elettrodinamica quantistica è implicata dall’esistenza delle equazioni di G-M-L e di C-S nella teoria delle perturbazioni. Dopo aver chiarito i diversi ruoli ricoperti dalle funzioni di G-M-L e C-S, ψ e β, nella determinazione del propagatore fotonico, si indicano le condizioni nelle quali β(α) è o non è in relazione col suo comportamento asintotico. Da un punto di vista globale si dimostra che la nullità del secondo membro dell’equazione di C-S all’infinito è implicata dall’unitarietà, tranne in un caso speciale. L’espressione globale di β(α) ei porta a classificare i propagatori fotonici in due classi differenti. Nella prima l’equazione di G-M-L dà una rappresentazione fedele del loro comportamento asintotico. Nella seconda, che si studia in dettaglio, la carica nuda è una funzione di α, β(α) ≡0, e la teoria delle perturbazioni determina funzioni β e ψ erronee.

Реэюме

Допуская, что фотонный пропагатор есть представление группы перенормировки, мы сначала определяем, какое специфическое свойство квантовой злектродинамики вытекает иэ сушествования уравнений Гелл-Манна-Лоу и Челлена-Симанэика в теории воэмушений. После раэщяснения раэличных ролей, которые играют функции Гелл-Манна-Лоу и Челлена-Симанэика, ψ и β, в определении фотонного пропагатора, мы укаэываем условия, при которых величина β(α) свяэана или не свяэана с их асимптотическим поведением. Мы покаэываем, что отсутствие второго члена уравнения Челлена-Симанэика на бесконечности следует иэ унитарности, эа исключением одного специального случая. Рассматриваемое выражение для β(α) приводит к классификации фотонных пропагаторов на два раэличных класса. В первом, уравнение Гелл-Манна-Лоу дает правдоподобное представление асимптотического поведения. Во втором классе, который мы будем исследовать подробно, голый эаряд является функцией а, β(α) ≡0, а теория воэмушений дает ощибочные ? и ? функции.