Legendre transforms of scattering amplitudes and a crossing-symmetric representation

Summary

Legendre transforms differ from partial-wave amplitudes by the use of variables of integration that are more appropriate for crossing symmetry. It is shown that their holomorphy properties are similar to those of partial-wave amplitudes. Using Legendre transforms the Watson-Sommerfeld transformation can be applied in a crossing-symmetric form, and the asymptotic terms can be separated from the background integral in all three energy channels simultaneously. The background integral can be expressed with an exponential factor which decreases if the contour can be moved to the left in the complexl-plane. The background integral satisfies the Mandelstam representation without subtractions, and each asymptotic term has the corresponding cut-plane analyticity with correct thresholds.

Riassunto

Le trasformate di Legendre differiscono dalle ampiezze dell’onda parziale per l’uso di variabili di integrazione che sono più appropriate alla simmetria inorociata. Si dimostra ohé le loro proprietà di olomorfia sono simili a quelle delle ampiezze dell’onda parziale. Usando le trasformate di Legendre si può applioare la trasformazione di Watson-Sommerfeld in una forma simmetrica incrociata, e si possono separare i termini asintotici dell’integrale di fondo in tutt’e tre i canali contemporaneamente. Si può esprimere l’integrale di fondo con un fattore esponenziale che decresce se si può spostare il contorno a sinistra del pianol complesso. L’intégrale di fondo soddisfa la rappresentazione di Mandelstam senza sottrazioni, ed ogni termine asintotico ha la corrispondente analiticità del piano di taglio con soglie corrette.