Variational solutions of the Bethe-Salpeter equation

Summary

Variational procedures for obtaining approximate solutions of the Bethe-Salpeter equations are considered. Numerical calculations and illustrations were done in the bound-state region by solving the Bethe-Salpeter equation discussed by Schwartz. In the framework of the Reyleigh-Ritz method, rapid convergence is achieved by the variation of the nonlinear parameter. In order to present a starting point for solving more complicated problems, which are beyond the current scope of the Rayleigh-Ritz and Schwinger variational techniques, the leastsquares method is discussed in detail. The numerical results indicate that the least-squares method can be accepted as a practical tool for the approximate solution of the Bethe-Salpeter equations.

Riassunto

Si studiano i procedimenti variazionli per ottenere soluzioni approssimate dell’equazione di Bethe-Salpeter. Si sono fatti calcoli numerici ed esempi nella regione dello stato legato risolvendo l’equazione di Bethe-Salpeter discussa da Schwartz. Nel contesto del metodo di Rayleigh-Ritz si ottiene una rapida convergenza con la variazione di un parametro non lineare. Allo scopo di stabilire un punto di partenza per risolvere problemi più complicati, che vanno oltre gli scopi delle tecniche variazionali di Rayleigh-Ritz e Schwinger, si discute dettagliatamente il metodo dei minimi quadrati. I risultati numerici indicano che il metodo dei minimi quadrati può essere accettato come mezzo pratico per ottenere soluzioni approssimate delle equazioni di Bethe-Salpeter.

Резюме

Рассматриваются вариационные методы для получения приближенных решений уравнений Бете-Салпетера. Проведены численные вычисления и иллюстрации в области связанных состояний, решая уравнение Бете-Салпетера, которое обсуждалось Шварцем. В рамках метода Релея-Ритца достигается быстрая сходимость, путем вариации нелинейного параметра. Чтобы представить отправную точку для решения более сложных проблем, которые находятся вне рамок обычных вариационных методов Релея-Ритца и Швингера, подробно обсуждается метод наименьших квадратов. Численные результаты показывают, что метод наименьших квадратов может быть использован как практический способ для приближенного решения уравнений Бете-Салпетера.