Reduced wave equation with infinite components

Summary

We consider wave equations of the type [Γ ^μ p _μ −c(p ²)] ψ(p = 0 which is the reduced from of the higher-order wave equation constructed earlier on the basis of the Casimr operatorw ^μ w _μ of the Poincaré group. By the reduced form we mean the same kind of relationship that the Dirac equation has to the Klein-Gordon equation. Covariance under the homogeneous Lorentz group including inversion leads us to the consideration of infinite-dimensional representations for the reduced wave equation. We investigate in detail two different representations ofΓ ^μ, one suitable for integral spins, the other for half-odd integral spins. Matrix elements ofΓ ^μ are given explicitly. Some general properties of the wave equation are discussed. As a by-product of this investigation, we have found the conditions under whichΓ ^μ together withS ^μν, the spin part of the generators of the Lorentz group, form the generators of the de Sitter group. Our reduced equation does not have this property; the mass spectrum for an equation that does is discussed.

Riassunto

Si considerano equazioni d’onda del tipo [Γ ^μ p _μ −c(p ²)] ψ(p = 0 che è la forma ridotta della equazione d’onda d’ordine più alto, costruita precedentemente sulla base dell’operatore di Casimirω ^μ w _μ del gruppo di Poincaré. Per forma ridotta si intende lo stesso tipo di relazione che esiste fra l’equazione di Dirac e quella di Klein-Gordon. La covarianza per gruppi omogenei di Lorentz comprendenti l’inversione porta a considerare le rappresentazioni a infinite dimensioni per l’equazione d’onda ridotta. Si studiano in dettaglio due rappresentazioni differenti diΓ ^μ una adatta per spin interi, l’altra per spin seminteri dispari. Si forniscono esplicitamente gli elementi di matrice diΓ ^μ. Si discutono alcune proprietà dell’equazione d’onda. Come risultato secondario di questo studio si sono trovate le condizioni per cuiΓ ^μ eS ^μν, la parte di spin dei generatori del gruppo di Lorentz, formano i generatori del gruppo di de Sitter. L’equazione ridotta calcolata in questo articolo non ha questa proprietà; si discute lo spettro di massa per un’equazione che invece la presenta.

Резюме

Мы рассматриваем волновое уравнение типа [Γ ^μ p _μ −c(p ²)] ψ(p = 0, которое представляет приведенную форму волнового уравнения более высокого порядка, сконструированного ранее на основе оператора Казимираw ^μ w _μ группы Пуанкаре. Под приведенной формой мы подразумеваем такой вид соотношения, когда уравнение Дирака сводится к уравнению Клейна-Гордона. Инвариантность относительно однородной группы Лорентца, включаюшей инверсию, приводит нас к рассмотрению бесконечно-мерных представлений для приведенного волнового уравнения. Мы подробно исследуем два различных представленияΓ ^μ, одно подходяшее для целых спинов, другое для полуцелых спинов. Точно приводятся матричные элементыΓ ^μ. Обсуждаются некоторые общие свойства волнового уравнения. Как побочный продукт этого исследования, мы нашли условия, при которыхΓ ^μ вместе сS ^μν, спиновая часть генераторов группы Лорентца, образуют генераторы группы де Ситтера. Наше приведенное уравнение не обладает этим свойством; обсуждается массовый спектр для уравнения.