Harmonic analysis in anSU_1,1 basis

Summary

The theory of harmonic analysis onSL _2,σ is developed using anSU _1,1 basis. It is found that regarded as an integral kernel, the Fourier transform (FT) of a function defined over the group acquires two additional labels τ representing the two disjoint subspaces needed in the analysis. The representation functions are used to discussSU _1,1-bicovariant distributions: we find that the FT cannot be carried out using them alone, because of parametrization difficulties. The problem of equivalence is discussed; conditions upon the transforms obtained; and functions «of the second kind» shown to be just the representation functions themselves. The work is applied to analysis of the two-particle elastic-scattering amplitude at and away fromt _μ=0, and nonunitary representations used to give a natural description of daughter trajectories and their properties.

Riassunto

Si sviluppa la teoria dell’analisi armonica inSL _2,σ usando una base inSU _1,1. Si trova che, considerata come nocciolo intero, la trasformazione di Fourier (FT) di una funzione definita sul gruppo acquista due indici addizionali τ che rappresentano i due sottospazi disgiunti necessari nell’analisi. Si usano le funzioni di rappresentazione per discutere le distribuzioni bicovarianti diSU _1,1: si trova che non si può eseguire la FT usando solo queste funzioni a causa di difficoltà nella parametrizzazione. Si discute il problema dell’equivalenza; si ottengono le condizioni sulle trasformate; si dimostra che le funzioni del «secondo tipo» sono proprio le funzioni di rappresentazione stesse. L’articolo è dedicato all’analisi dell’ampiezza dello scattering elastico di due particelle pert _μ=0 e pert _μ≠0, e si usano le rappresentazioni non unitarie per dare una descrizione naturale delle traiettorie figlie e delle loro proprietà.

Резюме

Используя базисSU _1,1, развиваетая теория гармонического анализа дляSL _2,σ. Получается, что преобразование Фурье, которое рассматривается как интегральное ядро для функции, определенной по всей труше, приобретает два лополнительных индекса τ, представляющих два разделенных подпространства, требуемых при анализе. Эти функции представлений используются для обсужденияSU _1,1-биковариантных распределений: мы находим, что это преобразование фурье не может быть выполнено, используя только их, из-за трудностей параметризации. Обсуждается проблема эквивалентности; получаются условия на преобразования; и показывается, пто функции «второго рода» сами являются как раз функциями представлений. Эта работа применяется для анализа двух-частичиой амплитуды упругого рассеяния при и вдали отt _μ=0, и используются неунитарные представлерия, чтовы дать естественное описание дочерних траекторий и их свойств.