Closing the background integral

Summary

We use the asymptotic behavior of the partial-waveS-matrix given in a previous report; namely, that asymptotically in the left-half λ-plane the single two-body, elasticS-matrix element has the behavior exp [2πiλ] in a sector of the left-half λ-plane for a fairly general class of (energy-dependent) potentials, and derive consequent representations for the total scattering amplitude. Two basic representations are given. The first is valid when the potential is such as to imply the Mandelstam symmetry; the second is an extension of the earlier Khuri representation and is valid for a fairly general superposition of (energy-dependent) Yukawa potentials; the latter representation is given both with and without subtracting the Born term. A brief comparison with exact results shows good agreement in a one-pole approximation.

Riassunto

Si fa uso del comportamento asintotico della matrice d’onda parzialeS, oggetto di un articolo precedente; si sfrutta cioè il fatto che asintoticamente nella metà sinistra del piano λ l’elemento della singola matrice elastica di due corpiS ha un comportamento del tipo exp [2πiλ], in un settore della metà sinistra del piano λ, per una classe abbastanza generale di potenziali (dipendenti dall’energia); si derivano così rappresentazioni conseguenti per l’ampiezza totale di scattering. Si danno due rappresentazioni base: la prima è valida quando il potenziale implica la simmetria di Mandelstam; la seconda è un’estensione della precedente rappresentazione di Khuri ed è valida per una sovrapposizione abbastanza generale dei potenziali di Yukawa (dipendenti dall’energia). Quest’ultima rappresentazione è data sia sottraendo che non sottraendo il termine di Born. Un breve confronto con i risultati esatti mostra un buon accordo con l’approssimazione a un polo.

Резюме

Мы используем асимптотическое поведениеS-матрицы парциальных волн, приведенной в предыдущем сообщении; а именно, что асимптотически в левой половине λ-плоскости единственный двух-частичный упругий элементS-матрицы имеет поведение ехр [2πiλ] в спектре левой половины λ-плоскости для довольно общего класса (зависящих от энергии) потенциалов, и выводим последовательные представления для полной амплитуды рассеяния. Приводятся два основных представления: первое справедливо, когда потенциал является таким, чтобы подразумевать симметрию Мандельстама; второе представляет распространение представления Хури и справедливо для довольно общей суперпозиции (зависящих от энергии) потенциалов Юкавы; последнее представление приводится и с вычитанием и без вычитания борновского члена. Краткое сравнение с точными результатами показывает хорошее согласие с одно-полюсным приближением.