Nonlinear Schrödinger equation, potential nonlinear Schrödinger equation and soliton solutions

Summary

It is shown that the equivalent real form of the nonlinear Schrödinger equation (NLS), the potential nonlinear Schrödinger equation (PNLS), introduced in a previous paper by the same authors, has a Bäcklund transformation (BT) which satisfies the permutability theorem. By taking advantage of the analyticity properties of the PNLS equation, a method of generating new solutions of the NLS equation is proposed. In this way a three-parameter simple-kink soliton solution is obtained, in the repulsive case, which is called «smooth» kink in comparison with the two-parameter simple-kink soliton solution which is called «pointed» kink. Moreover, a four-parameter solution describing the collision of two «smooth» kinks is explicitly given.

Riassunto

Si dimostra che la forma reale equivalente dell’equazione di Schrödinger non lineare (NLS), cioè l’equazione potenziale di Schrödinger non lineare (PNLS), introdotta dagli stessi autori in un precedente lavoro, ha una trasformazione di Bäcklund (BT) che soddisfa il teorema di permutabilità. Usufruendo delle proprietà di analiticità dell’equazione PNLS, si formula un metodo per generare nuove soluzioni dell’equazione NLS. In questo modo si ottiene, nel caso repulsivo, una soluzione, descrivente un solitone di tipo kink con 3 parametri, che è chiamata «smooth» kink rispetto alla soluzione descrivente un solitone di tipo kink con 2 parametri, che è chiamata «pointed» kink. Inoltre si dà esplicitamente una soluzione a 4 parametri, che descrive la collisione di 2 kink «smooth».

Резюме

Показывается, что эквивалентная вещественная форма нелинейного уравнения Шредингера, потенциального нелинейного уравнения Шредингера, введенная в предыдущей статье, обладает преобразованием Бэклунда которое удовлетворяет теореме перестановок. Используя свойства аналитичности потенциального нелинейного уравнения Шредингера, предлагается метод получения новых решений нелинейного уравнения Шредингера. Таким образом получается трехпараметрическое солитонное решение «с простым перегибом» в случае отталкивания, которое называется «гладким перегибом», по сравнению с двухпараметрическим солитонным решением «с простым перегибом», которое называется «заостренным перегибом». В явном виде записывается четырехпараметрическое решение, описывающее соударение двух «гладких перегибов».