Group-theoretical approach to a class of lax equations including those solvable by the spectral transform

Summary

The connection of the Lax equation to a Poisson structure via Lie algebraic methods has been recently investigated and explicitly displayed for the Korteweg-de Vries equation by Berezin and Perelomov; a similar approach has been also discussed by Adler and by Lebedev and Manin. We have used this method to show the group-theoretic origin of certain nonlinear partial differential equations which are known to be solvable via the spectral transform associated to the generalized Zakharov-Shabat linear problem. These equations are found to be special realizations of evolution equations for time-dependent linear operators acting on an infinite-dimensional linear space. In particular an abstract form of the Korteweg-de Vries, modified Korteweg-de Vries and nonlinear Schrödinger equations is presented.

Riassunto

Recentemente è stata studiata una relazione tra l'equazione di Lax ed una struttura di Poisson mediante l'uso di algebre di Lie. Questa relazione è stata data esplicitamente per l'equazione di Korteweg-de Vries da Berezin e Perelomov. Un approccio simile è stato anche discusso da Adler e da Lebedev e Manin. In questo lavoro questo metodo è stato usato, per mostrare l'origine gruppale di alcune equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari che sono integrabili con il metodo della trasformata spettrale associata al problema di Zakharov-Shabat. Si mostra che queste equazioni sono particolari realizzazioni di equazioni d'evoluzione per operatori lineari che operano su uno spazio lineare infinito-dimensionale. In particolare si trova la forma astratta dell'equazione di Korteweg-de Vries, di Korteweg-de Vries modificata e dell'equazione di Schrödinger non lineare.