Relativistic ground-state energy eigenvalues of an electrondipole system

Summary

Relativistic corrections to the ground-state energy eigenvalues of an electron in the field, of a stationary, finite electric dipole have been calculated to order α² (α = fine-structure constant). Relativistic terms in the Hamiltonian that arise from the Dirac equation are treated as a perturbation of the nonrelativistic Schrodinger equation, which has been solved previously. At large values of the dipole moment D =eR, where —e = electronic charge andR = separation of dipole charges in Bohr radii α₀, the relativistic correction approaches the hydrogenie limit —(α²/4) Ryd. The magnitude of the correction decreases monotonically to zero asD decreases from very large values to the minimum value,D = 0.639, required nonrelativistically for electronic binding. The relative magnitude of the correction, however, is largest in the regionD = 1.2ea ₀. The critical valueD = 0.639ea₀ is also apparently implied by the Dirac equation.

Riassunto

Si sono calcolate flno all’ordine α² le correzioni relativistiche agli autovalori dell’energia dello stato fondamentale di un elettrone nel campo di un dipolo elettrico finito e stazionario. Si trattano i termini relativistici nella Hamiltoniana che deriva dall’equazione di Dirac come una perturbazione dell’equazione di Schrödinger non relativiatica, risolta

РЕжУМЕ

БылИ ВыЧИслЕНы РЕльт ИВИстскИЕ пОпРАВкИ, ВплОть ДО А² (А = пОстОьН НАь тОНкОИ стРУктУРы), к сОБстВЕННыМ жНАЧЕН ИьМ ЁНЕРгИИ ОсНОВНОг О сОстОьНИ сОБстВЕННыМ жНАЧЕНИ ьМ ЁНЕРгИИ ОсНОВНОгО сОстОьНИь ЁлЕктРОНА В пОлЕ стАцИОНАРНОгО, кОНЕЧНОгО ЁлЕктРИЧЕ скОгО ДИпОль. РЕльтИВ ИстскИЕ ЧлЕНы В гАМИл ьтО ЁлЕктРОНА В пОлЕ стАц ИОНАРНОгО, кОНЕЧНОгО ЁлЕктРИЧЕскОгО ДИпО ль. РЕльтИВИстскИЕ Чл ЕНы В гАМИльтОНИАНЕ, к ОтОРыЕ ВОжНИкАУт Иж У РАВНЕНИь ДИРАкА, РАсс МАтРИВАУтсь кАк ВОжМ УЩЕНИЕ Дль НЕРЕльтИВ Ист ЁлЕктРИЧЕскОгО ДИпО ль. РЕльтИВИстскИЕ Чл ЕНы В гАМИльтОНИАНЕ, к ОтОРыЕ ВОжНИкАУт Иж У РАВНЕНИь ДИРАкА, РАсс МАтРИВАУтсь кАк ВОжМ УЩЕНИЕ Дль НЕРЕльтИВ ИстскОгО УРАВНЕНИь ш РЕДИНгЕРА, кОтОРОЕ Бы лО пРЕДВАРИтЕльНО РЕ шЕНО. пРИ БОльшИх жНАЧ ЕНИьх ДИ гАМИльтОНИАНЕ, кОтОР ыЕ ВОжНИкАУт Иж УРАВН ЕНИь ДИРАкА, РАссМАтР ИВАУтсь кАк ВОжМУЩЕН ИЕ Дль НЕРЕльтИВИстс кОгО УРАВНЕНИь шРЕДИ НгЕРА, кОтОРОЕ БылО пР ЕДВАРИтЕльНО РЕшЕНО. пРИ БОльшИх жНАЧЕНИь х ДИпОльНОгО МОМЕНтА D = ЕR, гДЕ -Е = = жАРьД ЁлЕктРО НА И R = РАсстОьНИЕ МЕжД У жАРьДАМИ ДИпОль В БО РОВскИх РАДИУсА РАссМАтРИВАУтсь кАк ВОжМУЩЕНИЕ Дль НЕРЕл ьтИВИстскОгО УРАВНЕ НИь шРЕДИНгЕРА, кОтОР ОЕ БылО пРЕДВАРИтЕль НО РЕшЕНО. пРИ БОльшИх жНАЧЕНИьх ДИпОльНОг О МОМЕНтА D = ЕR, гДЕ — Е = = жА РьД ЁлЕктРОНА И R = РАсс тОьНИЕ МЕжДУ жАРьДАМ И ДИпОль В БОРОВскИх Р АДИУсАх А₀, РЕльтИВИс тскАь пОпРАВкА стРЕМ Итсь к ВОДОРОДНОМУ пР ЕДЕлУ — (А²/4) РИДБЕРг. ВЕл ИЧИНА пО НЕРЕльтИВИстскОгО У РАВНЕНИь шРЕДИНгЕРА, кОтОРОЕ БылО пРЕДВАР ИтЕльНО РЕшЕНО. пРИ БО льшИх жНАЧЕНИьх ДИпО льНОгО М ОМЕНтА D = ЕR, гДЕ — Е = = жАРьД ЁлЕктРОНА И R = РАсстОьНИЕ МЕжДУ жАР ьДАМИ ДИпОль В БОРОВс кИх РАДИУсАх А₀, РЕльт ИВИстскАь пОпРАВкА с тРЕМИтсь к ВОДОРОДНО МУ пРЕДЕлУ — (А²/4) РИДБЕР г. ВЕлИЧИНА пОпРАВкИ М ОНОтОННО УМЕНьшАЕтс ь ДО НУль, кОгДА D УБыВА Ет От ОЧЕНь БОльшИх жН АЧЕНИИ ДО МИНИМАльН пРЕДВАРИтЕльНО РЕшЕ НО. пРИ БОльшИх жНАЧЕН Иьх ДИпОльНОгО МОМЕН тА D = ЕR, гДЕ — Е = = жАРьД ЁлЕ ктРОНА И R = РАсстОьНИЕ МЕжДУ жАРьДАМИ ДИпОл ь В БОРОВскИх РАДИУсА х А₀, РЕльтИВИстскАь п ОпРАВкА стРЕМИтсь к В ОДОРОДНОМУ пРЕДЕлУ — (А²/4) РИДБЕРг. ВЕлИЧИНА п ОпРАВкИ МОНОтОННО УМ ЕНьшАЕтсь ДО НУль, кОг ДА D УБыВАЕт От ОЧЕНь БО льшИх жНАЧЕНИИ ДО МИН ИМАльНОгО жНАЧЕНИь D = 0.639, тРЕБУЕМОгО В НЕРЕльт ИВИстскОМ слУЧАЕ Дль ЁлЕктРОННОИ сВьжИ. ОД НАкО, ОтНОсИтЕльНАь ДИпОльНОгО МОМЕНтА D = Е R, гДЕ — Е = = жАРьД ЁлЕктРО НА И R = РАсстОьНИЕ МЕжД У жАРьДАМИ ДИпОль В БО РОВскИх РАДИУсАх А₀, Р ЕльтИВИстскАь пОпРА ВкА стРЕМИтсь к ВОДОР ОДНОМУ пРЕДЕлУ — (А²/4) РИ ДБЕРг. ВЕлИЧИНА пОпРА ВкИ МОНОтОННО УМЕНьш АЕтсь ДО НУль, кОгДА D У БыВАЕт От ОЧЕНь БОльш Их жНАЧЕНИИ ДО МИНИМА льНОгО жНАЧЕНИь D = 0.639, тРЕ БУЕМОгО В НЕРЕльтИВИ стскОМ слУЧАЕ Дль ЁлЕ ктРОННОИ сВьжИ. ОДНАк О, ОтНОсИтЕльНАь ВЕлИ ЧИНА пОпРАВкИ ьВльЕт сь НАИБОльшЕИ В ОБлАс тИ D = 1.2 ЕА₀. кРИтИЧЕскАь В ЕлИЧИНА D = 0.639 ЕА₀ тАкжЕ ьВ РАсстОьНИЕ МЕжДУ жАР ьДАМИ ДИпОль В БОРОВс кИх РАДИУсАх А₀, РЕльт ИВИстскАь пОпРАВкА с тРЕМИтсь к ВОДОРОДНО МУ пРЕДЕлУ — (А²/4) РИДБЕР г. ВЕлИЧИНА пОпРАВкИ М ОНОтОННО УМЕНьшАЕтс ь ДО НУль, кОгДА D УБыВА Ет От ОЧЕНь БОльшИх жН АЧЕНИИ ДО МИНИМАльНО гО жНАЧЕНИь D = 0.639, тРЕБУЕМ ОгО В НЕРЕльтИВИстск ОМ слУЧАЕ Дль ЁлЕктРО ННОИ сВьжИ. ОДНАкО, ОтН ОсИтЕльНАь ВЕлИЧИНА пОпРАВкИ ьВльЕтсь НА ИБОльшЕИ В ОБлАстИ D = 1.2 Е А₀. кРИтИЧЕскАь ВЕлИЧ ИНА D = 0.639 ЕА₀ тАкжЕ ьВНО Вы тЕкАЕт Иж УРАВНЕНИь Д ИРАкА. РАДИУсАх А₀, РЕльтИВИ стскАь пОпРАВкА стРЕ МИтсь к ВОДОРОДНОМУ п РЕДЕлУ — (А²/4) РИДБЕРг. ВЕ лИЧИНА пОпРАВкИ МОНО тОННО УМЕНьшАЕтсь ДО НУль, кОгДА D УБыВАЕт От ОЧЕНь БОльшИх жНАЧЕН ИИ ДО МИНИМАльНОгО жН АЧЕНИь D = 0.639, тРЕБУЕМОгО В НЕРЕльтИВИстскОМ сл УЧАЕ Дль ЁлЕктРОННОИ сВьжИ. ОДНАкО, ОтНОсИт ЕльНАь ВЕлИЧИНА пОпР АВкИ ьВльЕтсь НАИБОл ьшЕИ В ОБлАстИ D = 1.2 ЕА₀. кР ИтИЧЕскАь ВЕлИЧИНА D = 0.639 ЕА₀ тАкжЕ ьВНО ВытЕкА Ет Иж УРАВНЕНИь ДИРАк А. ВОДОРОДНОМУ пРЕДЕлУ — (А²/4) РИДБЕРг. ВЕлИЧИНА пОпРАВкИ МОНОтОННО У МЕНьшАЕтсь ДО НУль, кО гДА D УБыВАЕт От ОЧЕНь Б ОльшИх жНАЧЕНИИ ДО МИ НИМАльНОгО жНАЧЕНИь D = 0.639, тРЕБУЕМОгО В НЕРЕль тИВИстскОМ слУЧАЕ Дл ь ЁлЕктРОННОИ сВьжИ. О ДНАкО, ОтНОсИтЕльНАь ВЕлИЧИНА пОпРАВкИ ьВ льЕтсь НАИБОльшЕИ В О БлАстИ D = 1.2 ЕА₀. кРИтИЧЕс кАь ВЕлИЧИНА D = 0.639 ЕА₀ тАк жЕ ьВНО ВытЕкАЕт Иж УР АВНЕНИь ДИРАкА. МОНОтОННО УМЕНьшАЕт сь ДО НУль, кОгДА D УБыВ АЕт От ОЧЕНь БОльшИх ж НАЧЕНИИ ДО МИНИМАльН ОгО жНАЧЕНИь D = 0.639, тРЕБУЕ МОгО В НЕРЕльтИВИстс кОМ слУЧАЕ Дль ЁлЕктР ОННОИ сВьжИ. ОДНАкО, От НОсИтЕльНАь ВЕлИЧИН А пОпРАВкИ ьВльЕтсь Н АИБОльшЕИ В ОБлАстИ D = 1.2 ЕА₀. кРИтИЧЕскАь ВЕлИ ЧИНА D = 0.639 ЕА₀ тАкжЕ ьВНО В ытЕкАЕт Иж УРАВНЕНИь ДИРАкА. БОльшИх жНАЧЕНИИ ДО М ИНИМАльНОгО жНАЧЕНИ ь D = 0.639, тРЕБУЕМОгО В НЕРЕл ьтИВИстскОМ слУЧАЕ Д ль ЁлЕктРОННОИ сВьжИ. ОДНАкО, ОтНОсИтЕльНА ь ВЕлИЧИНА пОпРАВкИ ь ВльЕтсь НАИБОльшЕИ В ОБлАстИ D = 1.2 ЕА₀. кРИтИЧЕ скАь ВЕлИЧИНА D = 0.639 ЕА₀ тА кжЕ ьВНО ВытЕкАЕт Иж У РАВНЕНИь ДИРАкА. тРЕБУЕМОгО В НЕРЕльт ИВИстскОМ слУЧАЕ Дль ЁлЕктРОННОИ сВьжИ. ОД НАкО, ОтНОсИтЕльНАь В ЕлИЧИНА пОпРАВкИ ьВл ьЕтсь НАИБОльшЕИ В ОБ лАстИ D = 1.2 ЕА₀. кРИтИЧЕск Аь ВЕлИЧИНА D = 0.639 ЕА₀ тАкж Е ьВНО ВытЕкАЕт Иж УРА ВНЕНИь ДИРАкА. сВьжИ. ОДНАкО, ОтНОсИт ЕльНАь ВЕлИЧИНА пОпР АВкИ ьВльЕтсь НАИБОл ьшЕИ В ОБлАстИ D = 1.2 ЕА₀. кР ИтИЧЕскАь ВЕлИЧИНА D = 0.639 ЕА₀ тАкжЕ ьВНО ВытЕкА Ет Иж УРАВНЕНИь ДИРАк А. ьВльЕтсь НАИБОльшЕИ В ОБлАстИ D = 1.2 ЕА₀. кРИтИЧ ЕскАь ВЕлИЧИНА D = 0.639 ЕА₀ т АкжЕ ьВНО ВытЕкАЕт Иж УРАВНЕНИь ДИРАкА. ВЕлИЧИНА D = 0.639 ЕА₀ тАкжЕ ь ВНО ВытЕкАЕт Иж УРАВН ЕНИь ДИРАкА. ДИРАкА.