Tauberian theorems for the borel summability and analytic continuation of the asymptotics of QCD sum rules

Summary

Using QCD sum rules as inputs, the conditions for and proof of the Borel summability and analytic continuation of QCD asymptotic expansions for current propagators are given. The corollary is that duality averages can be «coarse grain»,i.e. performed over the mass-squared interval$\bar s \to \infty$, corresponding to short distances (t→0), or equivalently «fine grain»,i.e. performed over the intervals$\bar s \to 0$, corresponding to long distancest→∞). The former is the usual formulation of duality, the latter, the paradoxical novelty proposed by Shifman, Vainshtein and Zakharov, which pushes duality to the limit of being applicable at a point. The two limits are related so that QCD is, surprisingly, relevant to both. The relationship is a consequence of the covariance of dilatation convolutions, which define duality averages, with respect to the conformal inversion. Underlying both Borel summability and the short-distance operator product expansion isSO(2, 1) symmetry.

Riassunto

Usando le regole di somma della QCD come input, si danno le condizioni e la prova della sommabilità di Borel e la continuazione analitica delle espansioni asintotiche della QCD per i propagatori di corrente. Il corollario è che le medie di dualità possono essere a grana grossa, cioè svolte sull'intervallo del quadrato della massa$\bar s \to \infty$, corrispondente a brevi distanze (t→0), o in modo equivalente di «grana fine», cioè svolte sull'intervallo$\bar s \to 0$ corrispondente a lunghe distanze (t»∞). La prima è la consueta formulazione di dualità, la seconda la paradossale novità proposta da Shifman, Vainshtein and Zakharov, che spinge la dualità al limite dell'essere applicabile ad un punto. I due limiti sono in relazione, cosicché la QCD sorprendentemente è attinente ad entrambi. La relazione è una conseguenza della covarianza di convoluzioni di dilatazione, che definiscono medie di dualità, rispetto all'inversione conforme. Sottolineare sia la sommabilità di Borel che l'espansione dei prodotti dell'operatore a breve distanza è la simmetriaSO(2, 1).

Резюме

Используя правила сумм квантовой хромодинамики, как исходные данные, приводятся условия для доказателства суммируемости Бореля и аналитического продолженияасимптотических разложений для токовых пропагаторов квантовой хромодинамики. Получается следуюэий результат, что средние могут оыть «крупнозернистые», т.е. усреднеие проведено по интервалу квадрата массы$\bar s \to \infty$, что соответствует малым расстояниям (t→0), или средние могут быть «мелкозернистые». т.е. усреднение проведено по интервалу$\bar s \to 0$, что соответствует большим расстояниям (t→∞). Первый случай соответствует обычнои формулировке дуальности, а второй случай, предлозенный Шифманом, Ванштеином и Захаровым, является парадоксаляно новым и позволяет рассмотреть дуальность в пределе, которой применим к точке. Эти два предела связаны таким образом, что квантовая хромодинамика соответствует обоим пределам. Соотношение представляет следствие ковариантности сверток, которые определяют средние относителяно конформной инверсии. Разложение произведения операторов на малых расстояниях являетсяSU(2, 1) симметричным.