Algebraic treatment of nonrelativistic and relativistic quantum equations and its relation to the theory of differential equations

Summary

The algebraic treatment of the eigenvalue equations for quantum systems, based on the introduction of the spectrum-generating algebraSO _2.1, in the sense of a previous work, is generalized by allowing energy-dependent realizations of the algebra. A basic differential equation (3.10) is derived, which expresses in a concise way the conditions that the Hamiltonian of the system must satisfy in order that an algebraic treatment, within our framework, be possible. The formalism is such that it allows a straightforward and unified rederivation of all results previously obtained by algebraic methods both for the nonrelativistic and relativistic cases, and also, to some extent, a discussion of the Dirac equation with an electrostatic potential, which has not been solved algebraically up to now. Moreover, the obtained equation (3.10) yields in a natural way the link between the algebraic treatment of quantum systems based on theSO _2.1 algebra and the theory of differential equations. It is shown that the conditions that the system must satisfy in order to haveSO _2.1 as spectrum-generating algebra in our sense lead to the same condition as the one obtained by imposing that the Schrödinger equation can be reduced, by means of a functional transformation, to the confluent hypergeometric equation. This result is particularly interesting since all quantum-mechanical systems that have been solved algebraically up to now possessSO _2.1 as spectrum-generating algebra.

Riassunto

Si generalizza la trattazione algebrica delle equazioni agli autovalori di sistemi quantistici introdotta in un precedente lavoro e basata sull'uso di algebre generatrici dello spettro, prendendo in considerazione realizzazioni dell'algebraSO _2,1 dipendenti dall'energia. Si ottiene così la basilare equazione (3.10) che esprime in modo sintetico le condizioni cui deve soddisfare l'hamiltoniana del sistema affinché esso possa venir risolto con tecniche algebriche. Il formalismo permette di ricavare in modo semplice e diretto tutti i risultati ottenuti fino ad ora sia nel caso non relativistico che in quello relativistico e di discutere in una certa misura l'equazione di Dirac con un potenziale elettrostatico che non era mai stata risolta con tecniche algebriche. Inoltre l'equazione (3.10) permette di stabilire in un modo diretto la connessione tra l'approccio algebrico alla soluzione dei problemi quantistici e la teoria della equazioni differenziali. Si mostra in particolare che le condizioni cui deve soddisfare l'hamiltoniana per ammetereSO _2.1 come algebra generatrice dello spettro sono tali da implicare che la corrispondente equazione agli autovalori sia riconducibile all'equazione ipergeometrica confluente. Questo risultato è di particolare interesse poiché tutti i sistemi quantistici che si sono finora potuti trattare algebricamente possiedonoSO _2.1 comealgebra generatrice dello spettro.

Резюме

Обобщается алгебраическое рассмотрение уравнений собственных значений для квантовых систем, которое основано на введении алгебрыSO _2,1, производящей спектр, в смысле предыдущей работы. Обобщение достигается за счет того, что допускаются реализации этой алгебры, которые зависят от энергии. Выводится основное дифференциальнапное уравнение (3.10), которое быражает явным образом условия, которым должен удовлетворять Гамильтониан этой системы, чтобы было возможно алгебраическое рассмотрение в рамках нашего подхода. Этот формализм позволяет заново вывести непосредственным и единым образом все результаты предварительно полученные с помощью алгебраических методов и для нерелятивистского и для релятивистского спучаев, а также обсудить до некоторой степени уравнение Дирака с электростатическим потенциалом, которое до сих пор не было решено алгебраически. Кроме того, полученное уравнение (3.10) дает эстественным образом связь между алгебраическим рассмотрением квантовых систем, основанным на алгебреSO _2,1 и теорией дифференциальных уравнений. Показывается, что эти условия, которым должна удовлетворять система, чтобы иметьSO _2,1, как алгебру, производящую спектр в нашем смысле, приводят к тому же условию, при наложении которого уравнение Шредингера может быть сведено посредством фухкционального преобразования к конфлуентному гипергеометрическому уравнению. Этот результат особенно интересен тем, что все квантовомеханические системы, которые были решены до настоящего времени алребраически, имеютSO _2,1, как алгебру, производящую спектр.