Time operator in quantum mechanics

Summary

Within aspace-time description of nonrelativistic quantum objects in terms of wave packets, one may simply consider (for every fixed spatial point$\bar x$: see eq. (5)) the «wave-packets»$F(t,\bar x) = \int d Ef(E,\bar x)$, that we shall assume to have as weight functions the vectors of the functional spaceP defined as follows. The spaceP is the space of continuousL ²-functions i) defined over the (total) energy interval 0<E<∞, ii) with square-integrable first derivatives and iii) for which a Hermitian energy operator exists. Such a spaceP isdense in the Hilbert space ofL ²-functions. It is then shown that a «good» time operator exists,$\hat t = - (i/2)(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\partial } /\partial E)$, that acts ontoP and i) is «symmetric» (but not self-adjoint), ii) is canonically conjugate to the (total) energy, and iii) satisfies the Ehrenfest principle and Galilei invariance. The old, known objection by Pauli is recognized to point out merely that our operator$\hat t$ cannot be hypermaximal, as was clarified by von Neumann. But even nonhypermaximal operators may be given a physical meaning and may represent observables in quantum mechanics. As already emphasized by previous authors, confining one's attention only to self-adjoint operators in quantum mechanics is too restrictive a postulate. Notwithstanding that$\hat t$ has no true eigenfunctions, nevertheless we succeed in calculating theaverage values of our time operator over our «wave packets» (and over the physical states corresponding to them). The case of wave packets moving freely is first considered. Secondly, the nonfree cases ofscattering by a potential are investigated.

Riassunto

Nell'ambito di unadescrizione spazio-temporale di oggetti quantistici non relativistici mediante pacchetti d'onde, ci si può ridurre semplicemente a considerare (per ogni punto spaziale fissato$\bar x$: vedi eq. (5)) i «pacchetti d'onde»$F(t,\bar x) = \int d Ef(E,\bar x)$, che noi assumeremo avere come funzioni-peso i vettori dello spazio funzionaleP definito come segue. Lo spazioP è lo spazio delle funzioniL ² continue i) definite sull'intervallo 0≤E<∞ dell'energia (totale), ii) aventi, derivate prime a quadrato sommabile, e iii) per le quali esiste un operatore hermitiano per l'energia. Tale spazioP èdenso nello spazio hilbertiano delle funzioniL ². Si mostra, quindi, l'esistenza di un «buon» operatore tempo,$\hat t = - (i/2)(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\partial } /\partial E)$, che agisce suP e che i) è «simmetrico» (ma non autoaggiunto), ii) è canonicamente coniugato all'energia (totale), e iii) soddisfa al principio di Ehrenfest e all'invarianza galileiana. Si riconosce come la nota, vecchia obiezione di Pauli sottolinei semplicemente che il nostro operatore$\hat t$ non può essere ipermassimale, come è stato chiarito da von Neumann. Ma anche gli operatori non ipermassimali possono avere significato fisico e rappresentare osservabili in meccanica quantistica. Come già rilevato da precedenti autori, il limitarsi ai soli operatori autoaggiunti in meccanica quantistica risulta troppo restrittivo. Anche set non ammette vere autofunzioni, ciò nonostante risulta possibile calcolare ilvalore medio dell'operatore tempo$\hat t$ per i nostri «pacchetti d'onde» (e per gli stati fisici ad essi corrispondenti). Dapprima si esamina il caso di un pacchetto d'onde in moto libero, quindi si analizzano i casi discattering da un potenziale.