A general analysis of the reduction of the direct product of two irreducible representations ofSU ₃ and of its multiplicity structure

Summary

General formulae are given for the total number of irreducible representations and for the number of inequivalent irreducible representations present in the reduction of the direct product of two irreducible representations ofSU ₃, (p, q) and (p′,q′). The structure of the multiplicity of the irreducible representations so obtained is analysed and shown to obey a simple and very symmetric rule. A special case is then studied in detail, namely that in whichp⩾p′+q′,q⩾p′+q′; in this case, the irreducible representation (p′,q′) alone determines completely the number of irreducible representations and that of inequivalent irreducible representations; it is further shown that, in this special case, the multiplicity structure of the direct product can be brought to coincide with the multiplicity structure of the weights contained in (p′,q′).

Riassunto

Si danno formule generali per il numero totale di rappresentazioni irriducibili e per il numero di rappresentazioni irreducibili inequivalenti che si ottengono per riduzione del prodotto diretto di due rappresentazioni irriducibili diSU ₃, (p,q) e (p′,q′). La struttura della molteplicità delle rappresentazioni irriducibili così ottenute è studiata e viene mostrato come essa obbedisca ad una regola semplice e molto simmetrica. Come caso particolare, viene poi studiato in dettaglio il casop⩾p′+q′,q⩾p′+q′; in questo caso, la rappresentazione irriducibile (p′,q′) determina da sola sia il numero di rappresentazioni irriducibili che quello di rappresentazioni irriducibili inequivalenti; si mostra inoltre come sia sempre possibile, in questo caso particolare, ricondurre la struttura della molteplicità delle rappresentazioni irriducibili nel prodotto a quella dei pesi contenuti in (p′,q′).