Katastrophentheorie und die Geometrie der Entscheidungen)

Zusammenfassung

Das StabilitÄtsverhalten dynamischer Systeme wird diskutiert, unter besonderer Berücksichtigung solcher Systeme, deren Verzweigungsverhalten durch eine (Lyapunov-) Funktion vom Gradiententyp charakterisiert werden kann. Morphogenese im Sinne Thoms wird definiert als evolutionÄrer Transitionsproze\ zwischen strukturell stabilen ZustÄnden des Systems. Strukturelle StabilitÄt gilt dabei als Annahmekriterium für die Benutzbarkeit von Modellen: Sie garantiert die sinnvolle Reproduzierbarkeit experimenteller Ergebnisse. Das Splitting Lemma wird besprochen, das besagt, da\ Funktionen in n Variablen in der NÄhe eines ihrer kritischen Punkte durch eine andere Funktion beschrieben werden können, deren Variablenzahl gleich dem Korang der Hessischen Matrix der Ausgangsfunktion ist (und damit wesentlich geringer). Das liegt an der Möglichkeit, Funktionen in der NÄhe ihrer kritischen Punkte in einen (nichtentarteten) Morse-Anteil und einen entarteten Anteil zu spalten. Letzterer ist gleich der universellen Auffaltung des zugehörigen Funktionskeims, dessen typische strukturelle StabilitÄt (und damit auch seine exakte Gültigkeit für die Beschreibung der unterliegenden Funktion) mit der Jet-Theorie begründet werden kann, die sichert, da\ Taylor-Entwicklungen bis zur Ordnung k eine Funktion exakt beschreiben, solange man sie lokal in der NÄhe eines kritischen Punktes geometrisch charakterisieren will. Die grundlegende Idee dabei ist, da\ an ihren kritischen Punkten Funktionen die wesentlichen qualitativen Änderungen erfahren, die wichtigen Aufschlu\ über das Verhalten des Prozesses geben, den die Funktion beschreibt. Mithin sind Modelle, deren Dynamik strukturell stabil ist, kanonisch. Sie sind dann unabhÄngig von quantitativen (jedoch strukturell unwesentlichen) Abweichungen (Störungen) des Prozesses. Dies ist die qualitative Beschreibungsweise der Katastrophentheorie und von besonderer Nützlichkeit für die Diskussion von ökoprozessen. Die Liste elementarer Katastrophengeometrien wird angegeben und einige Beispiele aus dem sozio-ökonomischen Bereich von Zeeman sollen die Anwendungsweise all dieser vorgehenden Bemerkungen verdeutlichen. Abschlie\end werden mögliche Anwendungen diskutiert, die insbesondere für den Versicherungsbereich von Interesse sind.

Summary

The stability behaviour of dynamical systems is discussed, particularly of such systems whose bifurcation behaviour exhibits a Lyapunov structure of gradient type. Morphogenesis in the sense of Thorn is defined as evolutionary transitional process between structurally stable states of a system. Structural stability serves as a criterium for acceptance of models with regards to their applicability: it guarantees the reasonable reproducebility of experimental results. The Splitting Lemma is discussed which says that functions in n variables may be described near their critical points by another function whose number of variables equals the corank of the original function’s Hessian (and is quite reduced therefore). This is so because of the possibility to split functions near their critical points into a (non-degenerate) Morse part and a degenerate part. The latter may be identified with the universal unfolding of the respective germ of the function to be characterized. Its typical (generic) structural stability (and hence its exact validity for describing the underlying function) may be explained in terms of Jet theory which makes sure that Taylor expansions up to order k describe some function exactly, provided it is to be geometrically characterized near a critical point. The basic idea of this is that at a critical point functions are subject to significant qualitative changes of their structure which gives important information on the behaviour of the process the function is supposed to present. Hence, models the dynamics of which are structurally stable in this sense are canonical. They are therefore independent of quantitative (however structurally insignificant) perturbations of the process. This is the qualitative concept of catastrophe theory. It is of particular usefulness for eco-processes. The list of elementary catastrophe geometries is given together with some examples of Zeemann of how to apply them to processes of the socio-economical domain in order to further clarify the functioning of these methods. Finally, some possibilities for application are discussed to processes which are of interest within the actuarial context.