Berechnung eines Konfidenzintervalls für die Anzahl der Elemente mit einer speziellen Eigenschaft in einer endlichen Grundgesamtheit auf der Grundlage einer geschichteten Stichprobe kleinen Umfangs

Zusammenfassung

Eine endliche Grundgesamtheit N bestehe aus m Schichten der UmfÄnge N_i. Jede Schicht enthalte A_i Elemente mit einer speziellen Eigenschaft. Gegeben sei eine geschichtete Stichprobe kleinen Umfangs aus dieser Grundgesamtheit. Ein Algorithmus zur Konstruktion eines Konfidenzintervalls für$\sum\limits_{i - 1}^m {A_i }$ A_i wird hergeleitet. Der Algorithmus ist eine Verallgemeinerung eines Verfahrens von Wright für einfache Zufallsstichproben auf der Basis der hypergeometrischen Verteilung. Gerade bei SchÄtzproblemen zum Zwecke der QualitÄtskontrolle sind die mit unserem Verfahren berechneten Konfidenzintervalle zuverlÄssiger als die auf der Basis der Normalverteilung approximierten und genauer als die konservativen Intervalle, die man durch Addition der Konfidenzintervalle nach Wright für jede Schicht erhÄlt. Approximiert man die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung, so lÄ\t sich der Rechenaufwand des Verfahrens wesentlich reduzieren. Die FÄlle m = 2 und m = 3 werden behandelt. Es wird gezeigt, da\ Probleme mit m > 3 auf die behandelten FÄlle zurückgeführt werden können. Sind die Elemente mit der speziellen Eigenschaft selten, so kann die Poisson-Verteilung als Approximation der Binomialverteilung dienen und man erhÄlt einen einfachen analytischen Ausdruck für das Konfidenzintervall.

Summary

A finite universe N consists of m strata of size N_i. Each stratum contains A_i units with a particular attribute. Given a small stratified random sample from this universe an algorithm to construct a confidence interval for$\sum\limits_{i - 1}^m {A_i }$ A_i is derived. The algorithm generalizes an algorithm of Wright for simple random sampling based on the hypergeometric distribution. Even in estimation problems related to qualitycontrol confidence intervals computed by our algorithm are more reliable than such based on the normal approximation and more precise than conservative intervals obtained by addition Wright’s confidence intervals for each stratum. Approximation of the hypergeometric distribution by binomial distribution essentially reduces computational effort. Cases m = 2 and m = 3 are discussed. It is shown, that problems with m > 3 can be reduced to discussed cases. Assume units with the particular attribute are rare, approximation of the binomial distribution by Poisson’s distribution will be appropriate and we get a simple analytical term for the confidence interval.