Experience rating under weighted squared error loss

Zusammenfassung

Im klassischen Modell der Erfahrungstarifierung werden optimale Prämien durch Minimierung des quadratischen Verlustes über geeignete Klassen von Prämien, die die Konstanten enthalten, bestimmt. Als Folge dieser speziellen Wahl der Verlustfunktion stimmen die Erwartungswerte der Bayes- und Credibility-Prämien mit der Netto-Prämie überein.

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, das klassische Modell auf den Fall eines quadratischen Verlustes mit Gewicht zu erweitern, wobei das Gewicht eine positive Zufallsvariable ist. Dieses Modell ist verteilungsfrei und enthält keine spezielle Annahme über die Gesalt des Gewichtes; statt dessen ist es vollständig durch allgemeine Bedingungen an die bedingte Verteilung der Schadenvariablen und des Gewichtes bestimmt. Derartige Bedingungen charakterisieren auch die asymptotische Optimalität der Credibility-Prämien sowie den Spezialfall, in dem die Erwartungswerte aller Credibility-Prämien die Netto-Prämie strikt übersteigen.

Summary

In the classical model of experience rating, optimum premiums are obtained by minimizing squared error loss over suitable classes of premiums containing the constants. As a result of this particular choice of the loss function, the expected values of the Bayes and credibility premiums agree with the net premium.

The purpose of the present paper is to extend the classical model to the case of weighted squared error loss, where the weight is a positive random variable. This model is distribution-free and does not involve any particular assumption on the form of the weight; instead, it is completely determined by general conditions on the conditional distribution of the claim amounts and the weight. Such conditions also characterize asymptotic optimality of the credibility premiums as well as the case where the expected values of all credibility premiums strictly exceed the net premium.