On supergroup transformations

Summary

As a generalization of ordinary supersymmetry transformations, we consider those corresponding to a group whose elements are specified by variablesx ⁱ (i=1, 2, …) such thatx ⁱx^j=(ij)x^jxⁱ, where (ij)=+ or −. Groups of this kind are more general thanZ ₂-graded Lie groups and hence may be called supergroups. It is shown that Lie's fundamental theorems hold true when all quantities concerned are taken to be formal power series inx ⁱ's. As a consequence «local» properties of a supergroup are characterized, as usual, by the structure constantsc ^k_ij . Supergroups may be applied to symmetry transformations for a system consisting of (para) Bose and (para) Fermi fields. In fact it has been proved in our previous paper that the bilinear and trilinear commutation relations which hold among these fields correspond precisely to the Lie commutation relations of a certain supergroup. As a further application we shall discuss a special case in which some of thex ⁱ's form a para-Grassmann algebra, and find in this way a natural generalization of the supersymmetry of relativistic fields.

Riassunto

Come generalizzazione delle trasformazioni ordinarie di supersimmetria, si considerano quelle corrispondenti ad un gruppo i cui elementi sono specificati dalle variabilix ⁱ (i=1, 2, …) tali chex ⁱx^j=(ij)x^jxⁱ, dove (ij)=+o −. Gruppi di questo tipo sono più generali dei gruppi di Lie graduati secondoZ ₂ e quindi possono essere chiamati supergruppi. Si mostra che i teoremi fondamentali di Lie sono veri quando tutte le quantità in questione sono considerate serie formali di potenze inx ⁱ. Di conseguenza le proprietà locali di un supergruppo sono caratterizzate, di solito, dalle costanti di strutturac ^k_ij . I supergruppi possono essere applicati a trasformazioni di simmetria per un sistema composto da campi di (para) Bose e (para) Fermi. Infatti è stato provato nel nostroe precedente lavoro che le relazioni di commutazione bilineari e trilineari che sono valid tra questi campi corrispondono precisamente alle relazioni di commutazione di Lie di un certo supergruppo. Come ulteriore applicazione discuteremo un caso speciale in cui alcuni deglix ⁱ formano un'algebra di para-Grassmann e troveremo in questo modo una generalizzazione naturale della supersimmetria dei campi relativistici.

Резюме

Как обобщение обычных преобразований суперсимметрии, мы рассматриваем такие, котопые соответствуют группе, элементы которой определяются переменнымиx ⁱ (i=1, 2, …) так, чтоx ⁱx^j=(ij)x^jxⁱ, где (ij)= +или −. Группы этого типа являются более общими, чемZ ₂ группы Ли и, следовательно, могут быть названы супергруппами. Показывается, что фундаментальные теоремы Ли оказываются справедливыми, когда все рассматриваемые величины представляются в виде формальных стеленных рядов поx ⁱ. Вследствие этого «локальные» свойства супергруппы характеризуются, как обычно, структурными постояннымиc ^k_ij . Супергруппы могут быть применены к преобразованиям симметрии для системы, состоящей из (пара-) Ъозе и (пара-) Ферми полей. В нашей предыдущей статье было доказано, что билинейные и трехлинейные коммутационные соотношения, которым удовлетворяют эти поля, в точности соответствуют коммутационным соотношениям Ли для определенной супергруппы. Мы обсуждаем специальный случай, в котором переменныеx ⁱ образуют алгебру параграссмана, и, таким образом, мы получаем естественное обобщение для суперсимметрии релятивистских полей.