Group ring of a dynamical invariance group

Summary

ŜU ₂, a group of unitary operators isomorphic to the 2-dimensional unimodular unitary group, is the dynamical invariance group of the 2-dimensional harmonic oscillator. The corresponding group ring

is used to classify completely the eigenfunctions, to represent arbitrary operators having nonvanishing matrix elements only within irreducible representations as unique functions of some special ring elements, and to construct general irreducible tensor operators whose matrix elements obey the known selection rules (Wigner-Eckhart theorem).

Riassunto

SU ₂, un gruppo di operatori unitari isomorfo col gruppo unitario unimodulare bidimensionale, è il gruppo d'invarianza dinamico dell'oscillatore armonico bidimensionale. Si usa l'anello del gruppo corrispondente

per classificare completamente le autofunzioni, per rappresentare operatori arbitrari che hanno elementi di matrice che non tendono a zero solo entro rappresentazioni irriducibili come funzioni uniche di alcuni speciali elementi dell'anello, e per costruire operatori tensoriali irriducibili generali i cui elementi di matrice obbediscono alle note regole di selezione (teorema di Wigner-Eckhart).

Резюме

ŜU ₂, группа унитарных операторов, изоморфных двумерной унимодулярной унитарной группе, представляет динамическую инвариантную группу двумерного гармонического осциллятора. Соответствующее групповое кольцо

используется для классификации собственных функций, для представления произвольных операторов, имеющих не обращающиеся в нуль матричные элементы только внутри неприводимых представлений, в виде однозначных финкций некоторых специальных элементов кольца, и для конструирования общих неприводимых тензорных операторов, матричные элементы которых подчиняются известным правилам отбора (теорема Вигнера-Екхарта).