The theory of asymptotic behavior

Summary

The Green’s functions of renormalizable quantum field theory are shown to violate, in general, Euler’s theorem on homogeneous functions, that is to say, to violate naive dimensional analysis. The respective violations are established by explicit calculation with Feynman diagrams. These violations when incorporated into the renormalization group, then provide the basis for an entirely new approach to asymptotic behavior in renormalizable field theory. Specifically, the violations add new delta-function sources to the usual partial differential equations of the group when these equations are written in terms of the external momenta of the respective Green’s functions. The effect of these sources is illustrated by studying the real part, Re Γ⁽⁶⁾(λp), of the six-point 1PI vertex of the massless scalar field with quartic self-coupling—the simplest of renormalizable situations. Here, Γp is symbolic for the six-momenta of Γ⁽⁶⁾. Briefly, it is found that the usual theory of characteristics is unable to satisfy the boundary condition attendant to the respective dimensional-analysis-violating sources. Thus, the method of characteristics is completely abandoned in favor of the method of separation of variables. A complete solution which satisfies the inhomogeneous group equation and all boundary conditions is then explicitly constructed. This solution has the following interesting properties: 1) It possesses Laurent expansions in the scale λ of its momentum arguments for all real values of λ² except λ²=0, where it has a delta-function singularity in λ² in addition to its Laurent expansions for λ²=0₊ and λ²=0₋. For |λ²|→∞ and |λ²|→0, the solution’s leading term in its respective Laurent series is proportional to λ⁻², so that it behaves canonically in both limits! 2) The limits λ²→0₊ and λ²→0₋ of λ² RE Γ⁽⁶⁾ are both nonzero and unequal. Further, on account of the delta-function singularity at λ²=0, the value of the solution at λ²=0 is not simply related to the value of either of these limits! Apparent divergences in the coefficients in the respective Laurent expansions are removed by the use of Heisenberg’s uncertainty principle. In this way, the new approach would appear to be operationally established.

Riassunto

Si mostra che le funzioni di Green della teoria rinormalizzabile dei campi quantici violano in generale il teorema di Eulero sulle funzioni omogenee, cioè a dire, violano la semplice analisi dimensionale. Le violazioni rispettive sono stabilite tramite calcoli espliciti con diagrammi di Feynman. Queste violazioni, quando incorporate nel gruppo di rinormaliz-zazione, forniscono la base per un approccio interamente nuovo al comportamento asintotico nella teoria dei campi rinormalizzabile. Specificamente, le violazioni aggiungono nuove sorgenti di funzioni delta alle solite equazioni differenziali parziali del gruppo quando queste equazioni sono scritte in termini degli impulsi esterni delle rispettive funzioni di Green. L’effetto di queste sorgenti è illustrato per mezzo dello studio della parte reale, Re Γ⁽⁶⁾(λp, del vertice 1PI a sei punti del campo scalare privo di massa con autoaccoppiamento quartico—la più semplice delle situazioni rinormalizzabili. Qui, Γp è simbolico per gli esaimpulsi di Γ⁽⁶⁾. Brevemente, si trova che la teoria usuale delle caratteristiche è incapace di soddisfare le condizioni al limite che accompagnano le rispettive sorgenti che violano l’analisi dimensionale. Così, il metodo delle caratteristiche è completamente abbandonato in favore del metodo della separazione delle variabili. Quindi si costruisce esplicitamente una soluzione completa che soddisfa l’equazione di gruppo inomogenea e tutte le condizioni al limite. Questa soluzione ha le seguenti interessanti proprietà: 1) Possiede sviluppi di Laurent nella scala λ del suo argomento dell’impulso per tutti i valori reali di λ² eccetto λ=0, per il quele ha una singolarità della funzione delta in λ² accanto ai suoi sviluppi di Laurent per λ²=0₊ e λ²=0₋. Per |λ²|→∞ e |λ²|→0, il termine principale della soluzione nella sua rispettiva serie di Laurent è proporzionale a λ⁻², cosicchè si comporta in maniera canonica in entrambi i limiti! 2) I limiti λ²→0₊ e λ²→0₋ di λ² Re Γ⁽⁶⁾ sono entrambi non nulli e disuguali. Inoltre, tenendo conto della singolarità della funzione delta a λ²=0, il valore della soluzione per λ²=0 non è semplicemente in relazione al valore di entrambi questi limiti! Si rimuovono le apparenti divergenze nei coefficienti di rispettivi sviluppi di Laurent per mezzo del principio di indeterminazione di Heisenberg. In questo modo, il nuovo approccio sembrerebbe operazionalmente stabilito.

Резюме

Показывается, что функции Грина для перенормируемой квантовой теории поля нарушают теорему Эйлера для однородных функций. Соответствующие нарушения устанавливаются, производя вычисления с помощью фейнмановских диаграмм. Эти нарушения, включенные в группу перенормировки, обеспечивают базис для нового подхода к анализу асимптотического поведения в перенормируемой теории поля. Нарушения додавляют новые дельта-функциональные источники в обычные дифференциальные уравнения в частных производных для труппы, когда эти уравнения записываются через внышние импульсы соответствуюших функций Грина. Влияние этих источников иллюстрируется на примере вещественной части, Re Γ⁽⁶⁾(λp, шеститочечной 1 вершины для скалярного поля с нулевой массой и с квадратичной собственной связью, простейшей для перенормируемых ситуаций. Здесь λp представляют шестиимпульсы Γ⁽⁶⁾. Обнаружено, что обычная теория характеристик не поз воляет удовлетворить граничному условию. Следовательно, предпочтение отдается методу разделения переменных. Затем в явном виде конструируется полное решение, которое удовлетворяет неоднородному уравнению группы и всем граничным условиям. Это решение имеет следующие интересные свойства: 1) Решение допускает разложение Лорана по λ для импульсных переменных для всех вещественных значений λ², за исключением λ²=0, где решение имеет дельта-функциональную сингулярность по λ², кроме разложений Лорана для λ²=0₊ и λ²=0₋. Для |λ²|→∞ и |λ²|→0 главный член решения в соответствующем ряду Лорана пропорционален λ⁻², так что решение обладает каноническим поведением в обоих пределах. 2) Пределы λ²→0₊ и λ²→0₋ для λ² Re Γ⁽⁶⁾ являются ненулевыми и не одинаковыми. Из-за дельта-функционалюной сингулярности при λ²=0 значение решения при λ²=0 не связано с величиной какото-либо из этих пределов. Очевидные расходимости в коэффициентах в соответствующих разложениях Лорана устраняются с помощью принципа неопределенности Гайзенберга.