Lagrange theory for spinor fields of subcanonical dimension 1/2

Summary

A spinor field of subcanonical dimension 1/2 appearing as constituent field in a scale- and gauge-invariant nonlinear spinor field theory can be imbedded in a conventional Lagrange field theory with third-order derivatives. In this framework and by restricting the investigations to the corresponding «free» case the «currents», in particular the current proper, the energy-momentum tensor, the spin tensor and the dilatation current, can be constructed in classical analogy and quantization can be introduced along conventional lines. The theory can be cast into canonical form by introducing two additional spinor fields which are related to first- and second-order derivatives of the original field by Euler equations. The subcanonical spinor field theory appears as a certain projection of the canonical theory which has to be interpreted as a projection on the underlying state space in order to preserve the algebraic relations. The currents and as a consequence their commutators are not uniquely determined by their generator properties. To identify them with physical currents, additional conditions connected with the positive-definite metric of the physical subspace have to be required which single out the formal «Noether currents» of the canonical version of the theory as the only physically acceptable ones. As a consequence the leading singularities of the current commutator on the light-cone are found to agree with those of the Dirac, theory whereas the disconnected part contains a factor of three.

Riassunto

Si può inserire un campo spinoriale di dimensione subcanonica 1/2, che appare come campo costituente in una teoria del campo spinoriale non lineare invariante di gauge e di scala, in una teoria del campo lagrangiano convenzionale con derivate del terzo ordine. Su questa base e restringendo le ricerche al corrispondente caso «libero» si possono costruire per via di analogia classica le «correnti», in particolare la corrente vera e propria, il tensore energia-impulso, il tensore dello spin e la corrente delle dilatazioni e si può introdurre la quantizzazione in maniera tradizionale. Si può formulare la teoria in forma canonica introducendo due campi spinoriali addizionali che sono correlati alle derivate del primo e secondo ordine del campo originale da equazioni di Eulero. La teoria subcanonica spinoriale del campo appare come una certa proiezione della teoria canonica che si deve interpretare come una proiezione sul sottostante spazione delle fasi per conservare le relazioni algebriche. Le correnti e quindi i loro commutatori non sono univocamente determinati dalle loro proprietà dei generatori. Per identificarli con correnti fisiche si devono richiedere condizioni aggiuntive connesse con la metrica definita positiva del sottospazio fisico, che mettono in luce le «correnti di Noether» formali della forma canonica della teoria come le uniche fisicamente accettabili. Di conseguenza si trova che le singolarità principali del commutatore delle correnti nel cono di luce concordano con quelle della teoria di Dirac, mentre la parte non connessa contiene un fattore tre.

Резюме

Спинорное поле субканонической размерности 1/2, появляющееся как составляющее поле в масштабно и калибровочно инвариантной нелинейной полевой теории, может быть включено в общепринятую Лагранжианную полевую теорию с помощью производных третьего порядка. В рамках этого подхода и, ограничиваясь рассмотрением, соответствующим «свободному» случаю, следуя классической аналогии, могут быть сконструированы «токи», в частности, собственный ток, тензор энергии-импульса, спиновой тензор и ток расширения. Квантование может быть введено стандартным образом. Предложенная теория может быть представлена в канонической форме путем введение двух дополнительных спинорных полей, которые связаны с производными первого и второго порядка исходного поля через уравнения Эйлера. Теория субканонического спинорного поля возникает как проекция канонической теории, которую следует интерпретировать как проекцию на пространство нижележащих состояний, чтобы сохранить алгебраические соотношения. Токи и их коммутаторы не определяются однозначно через свойства их генератороб. Чтобы идентифицировать их с физическими токами, необходимы дополнительные условия, связанные с положительно определенной метрикой физического простанства. Эти условия выделяют формальные «токи Ноэтера» для канонического варианта теории, как единственно физически приемлемые. В результате этого получается, что главные сингулярности коммутатора токов на световом конусе согласуются с сингулярностями в теории Дирака, тогда как несвязанная часть содержит множитель три.