Analytic strong-coupling solutions of the ABFST equation

Summary

We obtain approximate, but explicit upper- and lower-bound strong-coupling solutions to thet≠0 ABFST equation. The Fredholm denominatorD _ι(t) can be expressed as an infinite determinant ofone-dimensional integrals in the narrow-resonance approximation. If expanded in a power series int, the integrals can be performed, and the general structure of the solution of coupledO _3.1 equations emerges. The determinant is shown to be highly convergent, implying the effective decoupling ofO _3.1 partial waves att≠0, and verifying the approximate validity of the trace approximation. In special mass limits, closed expressions for thet ⁰-coefficient ofD _ι are obtained. The basic approximation is kinematic rather than dynamic, and is expected to be accurate when the resonance massm ₀ is greater than all other masses and effective momentum transfers; herem ₀≫μ (pion mass) andt not too large. This has been shown, to yield reasonable results for the leading trajectory. Even in the casem ₀=μ, however, reasonable agreement of parent and daughter slopes are obtained with exact numerical results, and them ₀=μ leading upper-bound intercept turns out to be given by the Tiktopoulos-Treiman upper bound. Results for residue functions are presented and their scaling properties are examined. The lower bound solutions provide a natural continuation fromq ²=−∞ toq ²=0; the scale breaking mass beingm ₀. Finally, it is shown that the leading trajectory of the lower-bound solution is very close to that found by Swift and Tucker in their analysis of Polkinghorne's exact perturbation theory results.

Riassunto

Si ottengono approssimate, ma esplicite, soluzioni di accoppiamento forte al limite superiore ed inferiore per l'equazione di ABFST pert≠0. Si può esprimere il denominatore di FredholmD _ι(t) come un determinante infinito di integrali monodimensionali nell'approssimazione della risonanza stretta. Con uno sviluppo in serie di potenze dit, si può eseguire l'integrazione, ed emerge la struttura generale della soluzione dell'equazioneO _3.1 accoppiata. Si mostra che il determinante è fortemente convergente, implicando il disaccoppiamento effettivo delle onde parzialiO _3,1 at≠0, e riaffermando la validità approssimativa dell'approssimazione della traccia. In speciali limiti di massa, si ottengono espressioni chiuse per il coefficientet ₀ diD _ι. L'approssimazione fondamentale è cinematica piuttosto che dinamica, e ci si attende che sia accurata quando la massa della risonanzam ₀ è maggiore di tutte le altre masse ed impulsi trasferiti effettivi; quim ₀≫μ (massa del pione) et non troppo grande. Si dimostra che ciò dà risultati ragionevoli per la traiettoria principale. Anche nel casom ₀=μ, comunque, si ottengono accordi ragionevoli tra le pendenze genitrici e figlie ed i risultati numerici esatti, e l'intercetta principale al limite superiore risulta essere data dal limite superiore di Tiktopoulos-Treiman. Si presentano i risultati per le funzioni residue e si esaminano le loro proprietà di scala. Infine si dimostra che la traiettoria principale della soluzione al limite inferiore è molto prossima a quella trovata da Swift e Tucker nella loro analisi dei risultati esatti ottenuti da Polkinghorne con la teoria della perturbazione.

Резюме

Мы получаем приближенные, но явные для верхней и нижней границ сильной связи решения ABFST уравнения приt≠0. Знаменатель ФредгольмаD _ι(t) может быть выражен как бесконечный определитель одномерных интегралов в приближении узкого резонанса. Если разложить в степенной ряд поt, то интегралы могут быть вычислены и полупается общая структура решения связанныхO _3,1 уравнений. Показывается, что этот определитель быстро сходится, предполагая эффективное нарушение связи дляO _3,1 парциальных, волн приt≠0 и проверяя приближенную справедливость приближения шпура. В особых массовых пределах получаются замкнутые выражения дляt ⁰ козффициентаD _ι. Основное приближение является скорее кинематическим, чем динамическим. Ожидается, что приближение является достаточно хорошим, когда резонансная массаm ₀ больше всех, других масс и эффективных передаваемых импульсов: здесьm ₀≫μ (пионная масса) иt не слишком большое. Показывается, что это приближение дает разумные резулятаты для главной траектории. Даже в случаеm ₀=μ, получается разумное согласие наклонов исходных и дочерних траекторий с точными численными реузуьтатами. Указывается, что дляm ₀=μ главное пересечение для верхней границы определяется верхней границей Тиктопулоса-Треймана. Предлагаются результаты для остаточных функций и исследуются их свойства, подобия. В заключение, показывается, что главная траектория ремения для нижней границы оченй близка к траектории, найденной Свифтом и Туккером при проведении анализа результатов точной теории возмущений Полкингхорна.