Dimensional regularization, abnormal amplitudes and anomalies

Summary

Identifying axial vectors and pseudoscalars as antisymmetric 3-component and 4-component tensors in space-time of arbitrary dimensions, we discover a new PCAC law:$\partial [_{K\bar \psi } \Gamma _L \Gamma _M \Gamma _{N]} =$ $= 2mi\bar \psi \Gamma _{[K} \Gamma _L \Gamma _M \Gamma _{N]} \psi - \frac{1}{5}i\bar \psi (\overleftrightarrow {i\partial }^J + 2eA^J )\Gamma _{[J} \Gamma _K \Gamma _L \Gamma _M \Gamma _{N]} \psi =$, where the extra term on the right-hand side does not exist in 4 dimensions. However, when we do descend to 4 dimensions after dimensional regularization it is precisely the axial vector anomaly. In a parallel calculation we have also shown how to obtain the anomaly in the matrix elements of the trace of the stress tensor.

Riassunto

Identificando i vettori assiali e gli pseudoscalari con tensori antisimmetrici a 3 e 4 componenti in uno spazio-tempo di dimensioni arbitrarie, si scopre una nuova legge di$\partial [_{K\bar \psi } \Gamma _L \Gamma _M \Gamma _{N]} =$ $= 2mi\bar \psi \Gamma _{[K} \Gamma _L \Gamma _M \Gamma _{N]} \psi - \frac{1}{5}i\bar \psi (\overleftrightarrow {i\partial }^J + 2eA^J )\Gamma _{[J} \Gamma _K \Gamma _L \Gamma _M \Gamma _{N]} \psi =$, in cui il termine addizionale a destra non esiste in 4 dimensioni. Tuttavia, quando si scende a 4 dimensioni dopo la regolarizzazione dimensionale, esso è precisamente l'anomalia vettoriale assiale. In un calcolo parallelo si è anche mostrato come ottenere l'anomalia negli elementi di matrice della traccia del tensore di sforzo.

Резюме

Идентифицируя аксиальные векторы и псевдоскалры как антисимметричные трех-компонентные и четырех-компонентные тензоры в пространствевремени произвольного числа измерений, мы приходим к новому закону РСАС:$\partial [_{K\bar \psi } \Gamma _L \Gamma _M \Gamma _{N]} =$ $= 2mi\bar \psi \Gamma _{[K} \Gamma _L \Gamma _M \Gamma _{N]} \psi - \frac{1}{5}i\bar \psi (\overleftrightarrow {i\partial }^J + 2eA^J )\Gamma _{[J} \Gamma _K \Gamma _L \Gamma _M \Gamma _{N]} \psi =$, где дополнительный член справа не существует в четырехмерном случае. Однако когда мы спускаемся до четырех измерений после размерной регуляризации, получается в точности аксиальная векторная аномалия. При параллельном вычислении мы также показываем, как возникает аномалия в матричных элементах для шпура тензора напряжений.