Propagator products in arbitrary dimensions

Summary

We study the properties of propagator products inx-space in space-time of arbitrary dimension 2l, viewing these products as generalized functions. In this way we investigate such questions as gauge invariance, singularities, communication relations between field operators in perturbation theory, etc. By proceeding carefully to the limit of integer dimensions we are able to show that there are no inconsistencies in the canonical equal-time commutators of fields and that thec-number current-current Schwinger term reduces to ∂_r(∂²)^l-1δ^{2 l-1}(χ) rather than the divergent distributionΛ ^{2 l-2}(∂)_rδ^{2 l-1}(χ). Dimensional regularization is also applied to nonpolynomial interaction Lagrangians: there the close similarity with Mitter's analytic regularization demonstrates that the exponential superpropagator is characterized by a minimal singularity in four dimensions.

Riassunto

Si studiano le proprietà di prodotti di propagatori definiti nello spaziox in uno spaziotempo con un numero di dimensioni arbitrarie 2l, considerando tali prodotti come funzioni generalizzate. In tal modo si studiano alcuni problemi, quali l'invarianza di gauge, le singolarità, le relazioni di commutazione tra operatori di campo nella teoria delle perturbazioni, ecc. Procedendo accuratamente fino al limite di un numero intero di dimensioni, si è in grado di dimostrare che non esistono incongruenze nei commutatori canonici di tempi uguali dei campi, e che il termine di Schwinger corrente-corrente di numeric tende a ∂_r(∂²)^l-1δ^{2 l-1}(χ) piuttosto che alla distribuzione divergenteΛ ^{2 l-2}(∂)_rδ^{2 l-1}(χ). Si applica inoltre la regolarizzazione dimensionale a lagrangiane d'interazione non polinomiali; in tal caso la stretta analogia con la regolarizzazione analitica di Mitter mostra che il superpropagatore esponenziale è caratterizzato da una singolarità minimale in quattro dimensioni.

Резюме

Мы исследуем свойства произведений пропагаторов вx-пространстве в пространстве-времени произвольного числа измерений 2l, рассматривая эти произведения как обобщенные функции. Таким образом, мы рассматриваем такие вопросы, как калибровочная инвариантность, сингулярности, коммутационные соотношения между полевыми операторами в теории возмущений и т.д. Переходя аккуратно к пределу целого числа измерений, мы можем показать, что не сушествует противоречий в канонических равновременных коммутаторах полей и что ток-токовый Швингеровский член, представляющийc-число, сводится к ∂_r(∂²)^l-1δ^{2 l-1}(χ), а не к расходящемуся распределениюΛ ^{2 l-2}(∂)_rδ^{2 l-1}(χ). Регуляризация числа измерений также применяется к неполиномиальным Лагранжианам взаимодействия. Тесная аналогия с аналитической регуляризацией Миттера показывает, что экспоненциальный суперпропагатор характеризуется минимальной сингулярностью в случае четырех измерений.