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The determination of the scattering potential from the spectral measure function

V. - The Gelfand-Levitan equation for the threedimensional scattering problem

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Il Nuovo Cimento (1955-1965)

Summary

A Gelfand-Levitan equation is introduced which enables one to calculate scattering potentials from part of the scattering amplitude in the three-dimensional scattering problem. The Gelfand-Levitan equation is a generalization of the one-dimensional Gelfand-Levitan equation of Kay and Moses. The part of the scattering amplitude which is required is an analogue of the reflection coefficient in one dimension. The potential which is obtained is more general than that usually assumed in the three-dimensional scattering problem in that it is diagonal in the radius variable but is a real integral operator in terms of the angular variables. The purely local potential (i.e. the potential which is diagonal in both the radial and angular variables) appears as a special case. In the present paper we assume that the perturbed Hamiltonian has a purely continuous spectrum which coincides with that of the unperturbed Hamiltonian. The case where there are also point eigenvalues is omitted in order to present the main ideas without unnecessary complications. We shall derive the Gelfand-Levitan equation from the very general Gelfand-Levitan method of Kay and Moses. This formalism already guarantees that the potential which is obtained will reproduce the reflection coefficient and that the equation is correct. In a later paper, however, we shall prove that the GelfandLevitan equation which we derive is correct by an elementary formalism which makes no use of the general Gelfand-Levitan technique at all; the advantage of this procedure being that one is immediately convinced that the equation is the right one.

Riassunto

Introduciamo una equazione di Gelfand-Levitan che permette di calcolare i potenziali di scattering da una parte dell’ampiezza di scattering nei problemi di scattering tridimensionale. L’equazione di Gelfand-Levitan introdotta, è una generalizzazione della equazione di Gelfand-Levitan unidimensionale di Kay e Moses. La parte richiesta dell’ampiezza di scattering è l’analogo del coefficiente di riflessione del caso unidimensionale. Il potenziale ottenuto è piu générale di quello generalmente assunto nel problema di scattering tridimensionale, in quanto è diagonale nella variabile radiale ma è un operatore integrale reale nelle variabili angolari. Il potenziale puramente locale (cioè, il potenziale diagonale sia nella variabile radiale che in quelle angolari) risulta essere un caso speciale. In questo lavoro noi supponiamo che l’Hamiltoniano perturbato abbia uno spettro puramente continuo che coincide con quello dell’Hamiltoniano non perturbato. Il caso in cui vi siano anche autovalori puntuali si omette allo scopo di presentare le idee principali senza inutili complicazioni. Deriveremo l’equazione di GelfandLevitan dal metodo di Gelfand-Levitan più generalizzato da Kay e Moses. Questo formalismo garantisce già che il potenziale ottenuto riprodurrà il coefficiente di riflessione e che l’equazione è corretta. In un lavoro successivo, comunque, dimostreremo, con un formalismo elementare che non fa alcun uso della tecnica generale di Gelfand-Levitan, che l’equazione di Gelfand-Levitan, che deriviamo, è corretta; questa procedura ha il vantaggio di convincere immediatamente ehe l’equazione è quella giusta.

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References

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The work ofI. Kay was supported by the National Science Foundation, NSF G-14 000.

The work ofH. E. Moses was supported by the Office of Naval Research, contract Nonr-839 (30), Project no. NR-013-106. Present address: Geophysics Corporation of America, Bedford, Mass.

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Kay, I., Moses, H.E. The determination of the scattering potential from the spectral measure function. Nuovo Cim 22, 689–705 (1961). https://doi.org/10.1007/BF02783102

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