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Il Nuovo Cimento (1943-1954)

, Volume 9, Issue 8, pp 705–718 | Cite as

Representations of the Galilei group

  • E. Inönü
  • E. P. Wigner
Article

Summary

While the transition to a moving coordinate system (x→x+vt, t→t) commutes in classical mechanics with displacements (x→x+a, t→t), the corresponding operations in Schrödinger's nonrelativistic wave mechanics do not commute. In fact, the two operations, taken in different orders, differ by a factor exp [imv÷a/h]. The present article considers the possibility of a nonrelativistic wave mechanics in which the transformations of the wave functions obey the same commutation relations as the transformations themselves. It shows that in such a mechanics position and momentum operators can exist only if it is reducible, i.e. only if the set of all states can be decomposed into subsets which are themselves invariant with respect to all permissible transformations of classical mechanics (rotations, displacements, proper Galilei transformations).

Riassunto

Mentre la transizione a un sistema di coordinate in movimento (x→x+vt, t→t) in meccanica classica commuta con gli spostamenti (x→x+a, t→t), le operazioni corrispondenti non commutano nella meccanica ondulatoria non relativistica di Schrödinger. Precisamente, le due operazioni prese in ordine differente differiscono di un fattore exp [imv÷a/h]. Il presente articolo considera la possibilità di una meccanica ondulatoria non relativistica in cui le trasformazioni delle funzioni d'onda obbediscano alle stesse relazioni di commutazione delle trasformazioni stesse. Si mostra che gli operatori di posizione e di quantità di moto possono esistere in tale meccanica solo se essa è riducibile, cioè solo se l'insieme di tutti gli stati può essere decomposto in sottogruppi che sono essi stessi invarianti rispetto a tutte le trasformazioni permesse della meccanica classica (rotazioni, spostamenti, trasformazioni proprie di Galileo).

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References

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Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1952

Authors and Affiliations

  • E. Inönü
    • 1
  • E. P. Wigner
    • 1
  1. 1.Department of PhysicsPrinceton UniversityPrincetonU.S.A.

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