An action principle in general relativity

Summary

Hamilton’s principle is applied to an invariant integral in which the field variables, regarded as independent, are the coefficients Γ_μν ^α defining a symmetric affine connection, the metric tensorg ^μνand the electromagnetic four-vectorx ^μ. Variation of the Γ_μν ^α yields an expression for the Γ_μν ^α in terms ofg _μνandx ^μVariations with respect to thex ^μand theg ^μνlead respectively to the field equations$\begin{gathered} F^{\mu \nu } _{i\nu } \hfill \\ G_{\mu \nu } - \frac{1}{2}g_{\mu \nu } G + \lambda g_{\mu \nu } = B\left( {F_{\mu \alpha } F_\nu ^\alpha - \frac{1}{4}g_{\mu \nu } F_{\alpha \beta } F^{\alpha \beta } } \right) \hfill \\ \end{gathered}$% MathType!End!2!1! whereB is a constant which experience requires to be positive,$F_{\mu \nu } = \frac{{\partial _{\kappa _\mu } }}{{\partial _{x_\mu } }} - \frac{{\partial _{\kappa \nu } }}{{\partial _{x_\mu } }}$% MathType!End!2!1! and a semi-colon denotes covariant differentiation.

Riassunto

Si applioa il principio di Hamilton ad un integrale invariante in cui le variabili di campo, considerate indipendenti, sono i coefflcienti Γ_μν ^α che definiscono una connessione simmetrica affine, il tensore metricog ^μνe il quadrivettore elettromagneticox ^μ. Una variazione dei Γ_μν ^α dà un’espressione dei Γ_μν ^α in funzione dig _μνex ^μ. Le variazioni rispetto ax ^μe ag ^μνportano rispettivamente alle equazioni di eampo$\begin{gathered} F^{\mu \nu } _{i\nu } \hfill \\ G_{\mu \nu } - \frac{1}{2}g_{\mu \nu } G + \lambda g_{\mu \nu } = B\left( {F_{\mu \alpha } F_\nu ^\alpha - \frac{1}{4}g_{\mu \nu } F_{\alpha \beta } F^{\alpha \beta } } \right) \hfill \\ \end{gathered}$% MathType!End!2!1! in cuiB è una costante che l’esperienza richiede sia positiva,$F_{\mu \nu } = \frac{{\partial _{\kappa _\mu } }}{{\partial _{x_\mu } }} - \frac{{\partial _{\kappa \nu } }}{{\partial _{x_\mu } }}$% MathType!End!2!1! ed il punto e virgola indica la differenziazione covariante.