Canonical formalism and quantization of world-line in a curved background metric

Summary

After discussing three various approaches to the canonical formalism for a world-line in a curved background metric we develop a new covariant formalism. It is based on the Hamiltonian which, for τ=s, is equal to the proper mass and it generates translations in proper times. The resulting Poisson-bracket relations are equivalent to the geodesic equation. In the quantized theory the classical 4-velocity$u^\mu$is replaced by the operator$\gamma ^\mu$ (Dirac matrices); the resulting Heisenberg equations are quantum analogue of the Papapetrou's equation for a spinning particle in a gravitational field. Our theory also predicts in a natural way the existence of an infinite bare mass term in the lagrangian for the Dirac (or Klein-Gordon) equation and thus provides a deeper understanding of the «renormalization» procedure.

Riassunto

Dopo aver discusso tre vari approcci al formalismo canonico per una linea d'orizzonte in una metrica di background curvo si sviluppa un nuovo formalismo covariante. È basato sull'hamiltoniana che, per τ=s, è uguale alla massa propria e genera traslazioni nel tempo proprios. Le, relazioni risultanti delle parentesi di Poisson sono equivalenti all'equazione geodesica. Nella teoria quantizzata la quadrivelocità classica è sostituita dall'operatore$\gamma ^\mu$ (matrici di Dirac); le equazioni risultanti di Heisenberg sono analoghi quantici dell'equazione di Papapetrou, per una particella con spin in un campo gravitazionale. La nostra teoria prevede anche in modo naturale l'esistenza di un termine infinito di massa nudo nella lagrangiana per l'equazione di Dirac (o di Klein-Gordon) e cosí permette di capire piú a fondo la procedura di rinormalizzazione.

Резюме

После обсуждения трех различных подходов к каноническому формализму для мировой линии в искривленной фоновой метрике мы развиваем новый ковариантный формализм. Формализм основан на Гамильтониане, который для τ=s равен собственной массе, и генерирует трансляции в собственном времениs. Результирующие соотношения для скобок Пуассона эквивалентны геодезическому уравнению. В квантовой теории классическая 4-скорость$u^\mu$ заменяется оператором$\gamma ^\mu$ (матрицами Дирака); результирующие уравнения Гайзенберга являются кванговыми аналогом уравнения Папапетру для вращающейся частицы в гравитационном поле. Наша теория также предсказывает существование члена с бесконечно голой массой а Лагранжиане для уравнения Дирака (или Клейна-Гордона) и, следовательно, обеспечивает более глубокое понимание процедуры «перенормировки».