Minimal surfaces and strings from spinors a realization of the cartan programme

Summary

It is shown ow the old Enneper-Weierstrass integral parametrization ofminimal surfaces inR ³ and the Eisenhart ones inR ^3,1, when expressed through bilinear spinor polynomia, may be considered as deriving from a particularlocal realization of the possibility envisaged by Cartan: to consider ordinary vectors as generated from isotropic planes in complex spaces, in the frame of the bijective Cartan map connecting pure spinor directions to totally null planes in complex spaces. In the case ofR ³ the correspondingglobal realization of the Cartan map extends the Enneper-Weierstrass parametrization to the Gauss-conformal map of the minimal surface to S₂, which may be identified with the Riemann celestial sphere. Forreal spinors minimal surfaces are substituted bystrings both inR ^2,1 andR ^3,1; inR ^2,1 strings are globally mapped to a torus (inR ⁴). InR ^3,1 (and its conformal extensions) a prescription is given to obtain strings as integrals of real, bilinear spinor null vectors, from the Enneper-Weierstrass spinor representation of minimal surfaces, through the use of unitary transformations in spinor space which allows its restriction to the real (Majorana spinor-space). It is shown that the Nambu action, or the area of the world surface described by the space-time string, is minimized by the Lagrangian density expressed as a quadrilinear spinor product formally reminding Fermi and Thirring interaction Lagrangians.

Riassunto

Si mostra come le vecchie espressioni integrali delle superfici minime in R³ di Enneper-Weierstrass e di quelle in R^3,1 di Eisenhart se scritte con l’uso di polinomi quadratici spinoriali possono essere considerate come una particolare realizzazione della possibilità intravista da Cartan di considerare vettori ordinari come generati da piani isotropi in spazi complessi, nell’ambito della corrispondenza biunivoca di Cartan tra le direzioni di spinori puri e piani totalmente nulli in spazi complessi. Nel caso di R³ la realizzazione globale della corrispondenza di Cartan estende la parametrizzazione di Enneper-Weierstrass alla mappa conforme di Gauss della superficie minima su S₂ che può essere identificata come la sfera celeste di Riemann. Per spinori reali, le superfici minime sono sostituite dacorde, sia in R^2,1, che in R^3,1; in R^2,1, in particolare, la sfera di Gauss delle superfici minime è sostituita, nel caso delle corde, da un toro (in R⁴). In R^3,1 (e le sue estensioni conformi) viene data una prescrizione per ottenere corde come integrali di vettori nulli reali, dalla rappresentazione spinoriale di Enneper-Weierstrass delle superfici minime, attraverso l’uso di trasformazioni unitarie nello spazio spinoriale, che permettono di ridurlo ad uno spazio reale (spazio degli spinori di Majorana). Si mostra come l’azione di Nambu, ovvero l’area della superficie spaziotemporale descritta da una corda dello spazio tempo, è resa minima da una « lagrangiana » avente la forma di un prodotto quadrilineare di spinori che formalmente ricorda il lagrangiano d’interazione di Fermi delle interazioni deboli e quello del modello di Thirring bidimensionale.