Spectral properties of positive operators andj-plane singularities of multiperipheral dynamics

Summary

In the framework of the most general multiperipheral dynamics, we study the consequences of positivity,i.e. of the fact that only the square moduli of the amplitudes come into play in the forward multiperipheral equation. Positivity implies an order relation in the Banach space in which the kernel of the equation acts and also the positivity of the kernel itself. Next we project the multiperipheral equation on the irreducible representations of the invariance semi-group and transfer the positivity onto the projected kernel. This leads us to the definition of a new class of operator-valued functions, the completely monotonic operators. We study in general their spectrum and their resolvent. Next we restrict our analysis to special subclasses of such operators for which we are able to find detailed information about the leading singularity of the resolvent and therefore to determine the leading asymptotic behaviour of important physical quantities.

Riassunto

Nell'ambito della più generale dinamica multiperiferica, si studiano le conseguenze della positività, cioè del fatto che soltanto i moduli quadrati delle ampiezze entrano in gioco nell'equazione multiperiferica in avanti. La positività implica una relazione d'ordine nello spazio di Banach nel quale agisce il kernel dell'equazione e la positività del kernel stesso. Successivamente si proietta l'equazione multiperiferica sulle rappresentazioni irriducibili del semigruppo di invarianza e la proprietà di positività viene trasferita sul kernel proiettato. Si arriva così alla definizione di una nuova classe di funzioni a valori operatoriali, gli operatori completamente monotoni. Se ne studiano in generale il risolvente e lo spettro. Infine l'analisi si restringe a sottoclassi particolari di questi operatori per i quali si è in grado di ricavare informazioni dettagliate sulla singolarità dominante del risolvente e quindi di determinare il comportamento asintotico dominante di rilevanti grandezze fisiche.

Резюме

В рамках наиболее общей мультипериферической динамики исследуются следствия положительности, т.е. того факта, что только квадраты модулей амплитуд играют роль в прямом мультипериферическом уравнении. Положительность подразумевает упорядоченную связь в банаховом пространстве, в котором действует ядро уравнения, а также положительность самого ядра. Затем мы проектируем мультипериферическое уравнение на неприводимые представления инвариантной полугруппы и переносим положительность на проектированное ядро. Эта процедура приводит к определению нового класса операторных функций, полностью монотонных операторов. Мы исследуем в общем виде их спектр и их резольвенту. Затем мы ограничиваемся рассмотрением специальных субклассов таких операторов, для которых мы можем получить подробную информацию о главной сингулярности резольвенты и, следовательно, определить главное асимптотическое поведение важных физических величин.