Explicit solutions of the Korteweg-de Vries equation without scattering data

Summary

We consider the problem of constructing solutions of the Korteweg-de Vries equation with the help of the inverse-scattering theory for the Schrödinger equation on the line. Using a scheme proposed by Zakharov and Shabat we show how solutions of the full equation are related to solutions of the linearized equation. In this way we obtain solutions which are not recovered by the standard IST method. Explicit solutions, other than the multisolitons are derived without referring to a set of scattering data: they decrease exponentially at both ends of the line, at the cost of a singularity whose location varies with time.

Riassunto

Si considera il problema di costruire soluzioni dell’equazione di Korteweg-de Vries con l’aiuto della teoria dello scattering inverso per l’equazione di Schrödinger sulla linea. Per mezzo di uno schema proposto da Zakharov e Shabat si mostra come soluzioni dell’equazione completa sono collegate a soluzioni dell’equazione linearizzata. In questo modo si ottengono soluzio che non sono ritrovate col metodo standard IST. Si derivano soluzioni esplicite diverse da quelle multisolitoniche senza riferisi ad un gruppo di dati di scattering: decrescono esponenzialmente ad entrambe le estremità della linea al prezzo di una singolarità la cui locazione varia col tempo.

Резюме

Мы рассматриваем проблему конструирования решений уравнения Кортевега-де Вриса с помощью обратной теории рассеяния для уравнения Шредингера на линии. Используя схему, предложенную Захаровым и Шабатом, мы показываем, как решения полного уравнения связаны с решениями линеаризованного уравнения. Таким образом, мы находим решения, которые не получаются с помощью стандартного метода обратной теории рассеяния. Выводятся точные решения, отличные от многосолитонных решений, без использования системы данных по рассеянию. Эти решения экспоненциально убывают на обоих концах линии за счет сингулярности, положение которой изменяется со временем.