Abstract
LetA be a (nonlinear) operator in an ordered linear spaceX with resolvantJ λ=(I+λA)-1 well-defined onX and non-decreasing for any smallλ>0, andν ∈X. We define sub-potential ofν with respect toA, as anyu ∈X satisfyingu≧J λ(u+λv) for smallλ>0, and show that this coincides with the notion of sub-solution of the equationAu∋ν in some abstract cases where such notion is defined in a natural way. At last, we give some general properties of sub-potentials, in particular an extension of the Kato inequality whenX is a lattice, and, for good set of constraintsU, existence of a largest solution for the control problem:u ∈U andu is a sub-potential ofν with respect toA.
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References
W. Arendt et al.,One-parameter semi-groups of positive operators (R. Nagel, ed.), Lecture Notes in Math.1184, Springer-Verlag, Berlin, 1986.
L. Barthélemy,Application de la théorie des opérateurs sous-potentiels au controle stochastique, inContributions to Nonlinear Partial Differnetial Equations, Volume II (Diaz and Lions, eds.), Longman, 1987.
L. Barthélemy,Problème d’obstacle pour une équation quasi-linéaire du premier ordre, à paraître, Ann. Fac. Sc. Toulouse.
L. Barthélemy et Ph. Bénilan,Phénomène de couche limite pour la pénalisation d’inéquations quasi-variationnelles elliptiques avec conditions de Dirichlet au bord, Séminaire du Collège de France, 1985.
L. Barthélemy et Ph. Bénilan,Opérateurs sous-potentiels de type accrétif, en préparation.
L. Barthélemy et F. Catte, Application de la théorie des semi-groupes non linéaires dans c à l’étude d’une classe d’inéquations quasi-variationnelles, Ann. Fac. Sci. Univ. ToulouseIV (1982).
Ph. Bénilan et F. Catte,Equations d’évolution du type du/dt+ max Aiu=f par la théorie des semi-groupes non linéaires dansL ∞, C.R. Acad. Sci. Paris, série 1,295 (1982).
Ph. Bénilan, M. G. Crandall et A. Pazy,Evolution equation governed by accretive operators, livre à paraitre.
A Bensoussan, M. Goursat et J. L. Lions,Contrôle impulsionnel et inéquations quasivariationnelles stationnaires, C.R. Acad. Sci. Paris, série A,276 (1973).
A. Bensoussan et J. L. Lions,Applications des inéquations variationnelles au contrôle stochastique, M.M.I. 6, Dunod, Paris, 1978.
A. Bensoussan et J. L. Lions,Contrôle impulsionnel et inéquations quasi-variationnelles, M.M.I. 11, Dunod, Paris, 1982.
G. Birkhoff,Lattice theory, Am. Math. Soc. Colloquium, Vol. XXV, 1948.
H. Brézis,Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, Math. St. 5, North-Holland, 1973.
H. Brézis,Equations et inéquations non linéaires dans les espaces vectoriels en dualité, Ann. Inst. FourierXVIII (1968).
B. Calvert,When T-accretive implies accretive, preprint.
C. Dellacherie,Les sous-noyaux élémentaires, inThéorie du potentiel — Colloque Deny, Lecture Notes in Math.1096, Springer-Verlag, Berlin, 1984.
C. Dellacherie,Théorie élémentaire du potentiel non linéaire, Séminaire d’Initiation à l’Analyse, Paris VI, 1986.
C. Evans et P. L. Lions,Résolution des équations de H.J.B. pour les équations uniformément elliptiques. C.R. Acad. Sci. Paris, série 1,290 (1980).
P. A. Meyer,Probabilités et potentiel, Publ. Inst. Math. Strasbourg. XIV Actual. Sci. Ind. 1318. Hermann, 1966.
R. Nagel et H. Uhlig.An abstract Kato inequality for generators of positive operators semigroups on Banach lattices. J. Operator Theory. no 6 (1981).
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Barthélemy, L., Bénilan, P. Sous-Potentiels D’un Operateur Nonlineaire. Israel J. Math. 61, 85–112 (1988). https://doi.org/10.1007/BF02776303
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02776303