A canonical formalism of instantons and vacuum tunnelling in the (1+1)-dimensional Higgs model

Summary

By taking as an example the (1+1)-dimensional Higgs model, we present a quantum field theory of instantons and vacuum tunnelling within the canonical formalism. To account for the nonperturbative nature of instantons, we make use of automorphisms of canonical commutation relation algebra. First, by postulating asymptotic completeness, we construct a series of inequivalent vacuum representations in the covariant gauge. Next, we construct a family of time-t representations which yield vacuum representations inequivalent to each other ast→±∞. The existence of such representations is shown to imply that the Fock vacuum undergoes tunnelling and hence is not the true vacuum of the theory. Thus the requirement of asymptotic completeness breaks down in the presence of instantons. We conclude that the physical space of the (1+1)-dimensional Higgs model corresponds to a direct sum of all the inequivalent gauge copies of the asymptotic Fock space.

Riassunto

Prendendo come esempio il modello di Higgs a 1+1 dimensioni, si presenta una teoria quantistica di campi di istantoni e un tunnelling a vuoto entro il formalismo canonico. Per spiegare la natura non perturbativa degli istantoni si fa uso dell'automorfismo dell'algebra delle relazioni di commutazione canoniche. Per prima cosa, postulando la completezza asintotica, si costruisce una serie di rappresentazioni nel vuoto non equivalenti nel gauge covariante. Quindi si costruisce una famiglia di rappresentazioni del tempot che danno rappresentazioni nel vuoto non equivalenti tra loro pert→±∞. Si mostra che l'esistenza di tali rappresentazioni implica che il vuoto di Fock è sottoposto a tunneling e quindi non è il vuoto vero della teoria. Quindi la richiesta di completezza asintotica vien meno in presenza di istantoni. Si conclude che lo spazio fisico del modello di Higgs a 1+1 dimensioni corrisponde ad una somma diretta di tutte le copie di gauge non equivalenti dello spazio di Fock asintotico.

Резюме

Рассматривая как пример модель Хиггса с размерностью 1+1, мы развиваем квантовую полевую теорию инстантонов и туннелирования вакуума в рамках канонического формализма. Чтобы обБяснить непертурбашионную природу инстантонов, мы используем автоморфизм алгебры канонических коммутационных соотношений. Сначала, постулируя асимптотическую полноту, мы конструируем ряд неэквивалентных представлений вакуума в ковариантной калибровке. Затем мы конструируем семейство временныхt представлений, которые дают представления вакуума, не эквивалентные друг другу, когдаt→±∞. Показывается, что существование таких представлений подразумевает, что вакуум Фока претерпевает туннелирование и, следовательно, не является истинным вакуумом теории. Таким образом, требование асимптотической полноты нарушается в присутствии инстантонов. Мы утверждаем, что физическое пространство модели Хиггса с размерностью 1+1 соответствует сумме всех неэквивалентных калибровочных вариантов асимптотического пространства Фока.