On factorization of Einstein's formalism into a pair of quaternion field equations

Summary

It is proposed that a full exploitation of the principle of general relativity in the costruction of the metrical field equations implies that the fundamental variables should be quaternion fields rather than the metric tensor field of the conventional formulation. Thus, the tensor property of Einstein's formalism is replaced here by a formalism that transforms as a quaternion—a vector field in co-ordinate space and a second-rank spinor field of the type η ⊗ η^* in spinor space. The geometrical field variables of the Riemann space are derived in quaternion form. The principle of least action (with the Palatini technique) is then used to derive a pair of time-reversed quaternion field equations, from the (quaternionic form of ) Einstein's Lagrangian. It is then shown how the conventional tensor form of the Einstein formalism is recovered from a particular combination of the derived time-reversed quaternion equations.

Riassunto

Si suggerisce che un completo sfruttamento del principio della relatività generale nella costruzione delle equazioni metriche di campo implichi che le variabili fondamentali debbano essere campi di quaternioni piuttosto che il campo tensoriale metrico della formulazione convenzionale. Così la proprietà tensoriale del formalismo di Einstein è qui sostituita da un formalismo che si trasforma come un quaternione—un campo vettoriale nello spazio delle coordinate e un campo spinoriale del secondo ordine di tipo η ⊗ η^* nello spazio spinoriale. Si deducono in forma di quaternioni le variabili geometriche di campo nello spazio di Riemann. Si usa poi il principio di minima azione (con la tecnica di Palatini) per dedurre dalla forma quaternionica della lagrangiana di Einstein una coppia di equazioni del campo dei quaternioni invertite rispetto al tempo. Si mostra poi come la forma tensoriale convenzionale del formalismo di Einstein possa essere riottenuta da una combinazione particolare delle equazioni quaternioniche rovesciate nel tempo dedotte precedentemente.

Резюме

Предполагается, что полное использование принципа общей теории относительности при конструировании метрических уравнений поля подразумевает, что основными переменными должны быть скорее кватернионные поля, чем метрический тензор поля в общепринятой формулировке. Поэтому, тензорное свойство формализма Эйнштейна заменяется здесь формализмом таких преобрзоваиий, как например, кватернион-векторное поле в координатном пространстве и спинорное поле второго ранга, типа η ⊗ η^* в спинорном пространстве. Геометрические полевые переменные Риманова пространстса выводятся в кватернионной форме. Принцип наименьшего действия (с помощью техники Палатини) затем используется для вывода пары кватернионных уравнений поля с обращенным временем, используя кватернионную форму Лагранжиана Эйнштейна. Затем показывается, как общепринятая тензорная форма формализма Эйнштейна получается из определенной комбинации, выведенной с помощью кватернионных уравнений с обращенным временем.