Cross-section, scattering amplitude and the asymptotic behaviour of the potential

Summary

We investigate two problems concerning potential scattering: 1) We prove that the total cross-section is finite for potentials with asymptotic behaviourV(x)=O(r^−μ) asr→∞ with μ>2 and that it is infinite if μ<=2. 2) We prove that the singular part of the scattering amplitude in the forward direction is proportional to ln (sin θ/2) in the caseV(x)=O(r ⁻³⁾ asr→∞ and that is proportional to (sin θ/2)^μ−3 in the caseV(x)=O(r ^−μ) with l<=μ<3. These results depend only on the local behaviour of the potential at infinity and no hypothesis concerned with central symmetry of the potential is required.

Riassunto

Si studiano due problemi riguardanti lo scattering di potenziale: 1) si dimostra che la sezione d'urto totale è finita per potenziali con comportamento asintoticoV(x)=O(r^−μ) perr→∞ con μ>2 ed è infinita per μ<=2. 2) Si dimostra che la parte singolare della ampiezza di scattering in avanti è proporzionale a ln (sin θ/2) nel caso con 1<=μ<3. Questi risultati dipendono soltanto dal comportamento locale del potenziale all'infinito e non si richiede alcuna ipotesi riguardante la simmetria centrale del potenziale.

Резюме

Мы исследуем две проблемы, касающиеся потенциального рассеяния: 1) Мы доказываем, что полное попечное сечение является конечным для потенциалов с асимптотическим поведениемV(x)=O(r ^−μ), когдаr→∞, μ>2 и что полное поперечное сечение является бесконечным, если μ<=2. 2) Мы доказываем, что сингулярная часть амплитуды рассеяния в направлении вперед пропорциона льна ln (sin θ/2) в случаеV(x)=0(r ⁻³⁾, когдаr→∞ и что она пропоррциональна (sin θ/2)^μ−3 в случаеV(x)=O(r^−μ) при 1<=μ<3. Эти результаты зависят только от локальночо поведения потенциала на бесконечности и не требуется никакой гипотезы относительно центральной симметрии потенциала.