The law of radioactive decay

Summary

The law of radioactive decay is derived along the lines originally proposed by Wigner and Weisskopf. It is found that the use of the Laplace transform permits a more exact evaluation of the probability amplitude of the decaying state than the original derivation. Nonexponential behaviour is obtained for very short and very long times. The uncertainty principle precludes observation of the short-time deviation from the exponential (as we demonstrate); this is the resolution of a proposed paradox. The long-time deviation becomes substantial only after an enormous number of lifetimes and is thus not observable in practice.

Riassunto

La legge del decadimento radioattivo è ricavata seguendo un approccio, suggerito originalmente da Wigner e Weisskopf. Per lo stato soggetto al processo di decadimento, l'uso della trasformata di Laplace consente di stimare la legge di evoluzione per l'ampiezza di probabilità in modo più accurato di quanto consentito dalla procedura originale. Si ottiene un comportamento non esponenziale per tempi molto brevi e per tempi molto lunghi. Si mostra che il principio d'indeterminazione preclude l'osservazione della deviazione dall'esponenziale per tempi brevi; questo fornisce una spiegazione per un paradosso proposto nella letteratura. La deviazione per tempi lunghi diviene sensibile solo dopo un enerme numero di vite medie ed è perciò non osservabile in pratica.

Резюме

выводится закон радиоактивного распада, следуя методу, предложенному Вигнером и Вайскопфом. Получено, что использование преобразования Лапласа позволяет почти точно вычислить амплитуду вероятности распадающегося состояния. Получается неэкспоненциальное поведение при очень малых и очень больших временах. Принцип неопредыеленности исключает возможность наблюдения отклонения при малых временах от эксппненциального закона; это обстоятельствп разрешает указанный парадокс. Отклонения при больших временах становятся существенными только после прошествия большого числа времех жиани и поэтому практически ненаблюдаемы.