Anomalous threshold singularities inS-matrix theory

Summary

The singularity of anomalous thresholds of connectedS-matrix elements outside the physical region is discussed. In some specific cases the positive α-condition for singularity is shown to be equivalent to the requirement that the discontinuity round each threshold be given by a Cutkosky integral with a « flat » integration counter. This « flatness » requirement, the meaning of which is explained in the paper, implies a correspondence between distortions of extended unitarity integrals and the singularity of anomalous thresholds. In the simplest cases the proof of its equivalence to the positive α-condition is direct, but in a more complicated case a delicate cancellation between distortion terms from different extended unitarity integrals has to be proved to establish the result.

Riassunto

Si discute la singolarità delle soglie anomale degli elementi della matriceS connessi all’esterno della regione fisica. Si dimostra che in alcuni casi specifici, la condizione α positiva per la singolarità è equivalente alla condizione che la discontinuità per ogni soglia sia data da un integrale di Cutkosky con un contorno di integrazione « piano ». Questa richiesta di « planarità », il cui significato è illustrato nel testo, implica una corrispondenza fra le distorsioni degli integrali di unitarietà estesi e la singolarità delle soglie anomale. Nei casi più semplici la prova per arrivare al risultato della sua equivalenza alla condizione α positiva è diretta, ma, in casi più complicati, è necessario dimostrare una delicata eliminazione fra i termini di distorsione degli integrali di unitarietà differentemente estesi.

Реэюме

Обсуждаются сингулярности аномальных порогов для свяэанных ЭлементовS-матрицы вне фиэической области. Покаэывается, что в некоторых специальных сличаях условие положительностиа для сингулярности Эквивалентно требованию, что раэрыв вокруг каждого порога определяется интегралом Куткоцкого с «ровным» контуром интегрирования. Требование « ровности », эначение которой общясняется в статье, подраэумевает соответствие между искажениями расщиренных интегралов унитарности и сингулярностями аномальных порогов. В простейщих случаях докаэательство Эквивалентности условию положительности а следует непосредственно, но в более сложном случае необходимо докаэать вэаимное уничтожение между членами искажения иэ раэличных расщиренных интегралов унитарности, для того чтобы установить Эквивалентность.