The distribution of zeros of spherical bessel functions

Summary

The distribution density of zeros (i.e. the number of zeros per unit interval) of spherical Bessel functionsj _L (x) of large orderL is shown to be${}_{\rho L}(x) = \pi ^{ - 1} (1 - (L + 1/2)^2 /x^2 )^{1/2}$ for |x|>L+1/2. A similar analytical expression for the squares of the zeros is also found. As a byproduct, closed expressions of Rayleigh’s famous spectral sum rules are found.

Riassunto

Si mostra che la densità di distribuzione degli zeri (cioè il numero di zeri per intervallo unitario) delle funzioni di Bessel sferichej _L (x) di grande ordineL è${}_{\rho L}(x) = \pi ^{ - 1} (1 - (L + 1/2)^2 /x^2 )^{1/2}$ per |x|>L+1/2. Si trova anche un’espressione analitica simile per i quadrati degli zeri. Come derivati si trovano espressioni chiuse delle famose regole di somma spettrali di Rayleight.

Реэуме

покаэывается, что распределение плотности нулей (т.е. числа нулей в единичном интервале) сферических бесселевых функций]ь(х) для больщихь описывается выражением${}_{\rho L}(x) = \pi ^{ - 1} (1 - (L + 1/2)^2 /x^2 )^{1/2}$ для |x| >L + 1/2. также определяется аналитическое выражение для квадратов нулей. выводится эамкнутое выражение для спектральных правил сумм рЭлея.