The relationship of second-type singularities to normal thresholds at the edge of the physical region

Summary

We show that the discontinuity across the two-particle threshold in a subenergy variable of a two-particle-three-particle amplitude possesses a second-type singularity. This singularity has the important property of determining on which sheet of their two-particle thresholds the integrated subenergies should be taken in the integral giving the two-particle discontinuity. This singularity also has the property of complicating the sheet structure of the two-particle subenergy thresholds and the three-particle threshold in the total energy in such a way that it is not obvious that the three-particle threshold can be isolated. However, we show that it is possible to find a class of paths which essentially just encircle the three-particle threshold and no other singularity. We then show that the second-type singularity plays a vital role in the derivation of Olive’s discontinuity formula for the three-particle threshold.

Riassunto

Si dimostra che la discontinuità attraverso la soglia di due particelle in una variabile di subenergia di una ampiezza due particelle-tre particelle possiede una singolarità del secondo tipo. Questa singolarità ha l’importante proprietà di determinare su quale foglietto della loro soglia di due particelle nell’integrale che dà la loro discontinuità si debbano prendere le subenergie integrate. Questa singolarità ha anche la proprietà di complicare la struttura dei foglietti delle soglie della subenergia di due particelle e di quella di tre particelle nell’energia totale, in modo tale che non è ovvio che si possa isolare la soglia di tre particelle. Si dimostra tuttavia che è possibile trovare una classe di traiettorie che racchiudono essenzialmente la soglia di tre particelle e nessun’altra singolarità. Si dimostra successivamente che la singolarità di secondo tipo ha importanza vitale nella derivazione della formula di discontinuità di Olive per la soglia di tre particelle.

Реэуме

Мы покаэываем, что раэрыв поперек двух-частичного порога по переменной суб’Энергяи для амплитуды « две частицы-три частицы » обладает сингулярностью второго типа. Ёта сингулярность имеет важное свойство иэ определения, на каком листе их двух-частичных порогов должны быть вэяты проинтегрированные суб’Энергии в интеграле, даюшем двух-частичный раэрыв. Эта сингулярность имеет также свойство иэ усложнения структуры листа двух-частичного порога по суб’Энергии и трех-частичного порога по полной Энергии таким обраэом, что неочевидно, что трех-частичный порог может быть иэолированным. Однако, мы покаэываем, что воэможно найти класс путей, которые, в основном, охватывают только трех-частичный порог и никакую другую сингулярность. Эатем мы покаэываем, что сингулярности второго типа играют сушественную роль при выводе раэрывных формул Оливе для трех-частичного порога.