On uniform approximations to the solutions of the partial-wave Bethe-Salpeter equation

Summary

The partial-wave Bethe-Salpeter equation for two equalmass particles is reduced to infinite systems of linear equations for the two special cases when the spectral function is given by i)σ(μ ²) =g ² δ(μ ²−μ ²₀ ), ii)σ(μ ²) =g ² θ(μ ²−μ ²₀ )[μ ²−μ ²₀ ]^−η+1, whereμ ²₀ >0, 0<η<1 andθ(μ ²−μ ²₀ ) is the step function. This reduction seems possible only after the Wick transformation has been applied initially. The coefficients of these systems of linear equations are then analytically continued to all physical values of the energy below the production threshold and involve only single integrals which are easily evaluated numerically. It is found that the linear transformations which these systems of linear equations (with the analytically continued coefficients) define, are compact in Hilbert space for all physical values of the energy up to some value a little below the production threshold.

Riassunto

Si riduce l'equazione di Bethe-Salpeter dell'onda parziale per due particelle di massa uguale, a infiniti sistemi di equazioni lineari nei due casi speciali in cui la funzione spettrale è data da i)σ(μ ²) =g ² δ(μ ²−μ ²₀ ), ii)σ(μ ²) =g ² θ(μ ²−μ ²₀ )[μ ²−μ ²₀ ]^−η+1, in cuiμ ²₀ >0, 0<η<1 eθ(μ ²−μ ²₀ ) è la funzione a gradini. Sembra che questa riduzione sia possibile solo dopo che inizialmente sia stata applicata la trasformazione di Wick. Si continuano poi analiticamente i coefficienti di questi sistemi di equazioni lineari a tutti i valori fisici dell'energia al di sotto della soglia di produzione; essi coinvolgono solo integrali singoli che si possono facilmente valutare numericamente. Si trova che le trasformazioni lineari definite da questi sistemi di equazioni lineari (con i coefficienti continuati analiticamente) sono compatte nello spazio hilbertiano per tutti i valori fisici dell'energia sino ad un certo valore un poco al di sotto della soglia di produzione.

Резюме

Парциальное уравнение Ъете-Салпетера для двух частиц с равными массами сводится к десконечным системам линейных уравнений для двух специальных случаев, когда спектральная функция определяется как i)σ(μ ²) =g ² δ(μ ²−μ ²₀ ), ii)σ(μ ²) =g ² θ(μ ²−μ ²₀ )[μ ²−μ ²₀ ]^−η+1, гдеμ ²₀ >0, 0<η<1 иθ(μ ²−μ ²₀ ) представляет ступенчатую функцию. Это приведение оказывается возможным только после того, как первоначально дыло применено продразование Вика. Затем козффициенты зтих систем линейных уравнений аналитически продолжаются для всех физических значений энергии, ниже порога рождения, и включают только однократные интегралы, которые легко вычисляются численно. Найдено, что линейные преодразования, которые эти системы линейных уравнений (с аналитически продолженными коэффициентами) определяют, являются компактными в пространстве Гильдерта для всех физических значений энергии вплоть до некоторой величины немного ниже порога рождения.