Singularities in complex angular momentum associated with nonplanar kernels

Summary

The Bethe-Salpeter equation generated by a « unit » nonplanar graph (with two crossed lines) is studied in two oases of scattering of spinless bosons: I) via a ϕ³ interaction and II) through vector meson exchange. In case I), when a_i (i=1, 2, 3, 4) are the Feynman parameters assigned to this graph, a general proof is given that the totality of the contributions to f(a) = a₃a₄-a₃a₄ = 0 from the interior of the α-space can be associated with a « singular » potential which generates a Gribov-Pomeranchuk accumulation point of even signature amplitude atl = — 1. On the other hand, the contributions tof(a) = 0 from the edges of the α-space are shown to generate a set of moving poles in complexl; certain properties of the corresponding trajectories are established. In case II) a similar procedure allows the definition of a « singular » potential in terms of the contributions off(a) = 0. It is shown that certain parts of this potential can be connected with spin-type translations of a Gribov-Pomeranchuk singularity tol= 1, but that the complete contribution is regular at this point. Finally, the contributions fromf(a)≠ 0 are considered; for a simplified (but characteristic) form it is shown that, in the weak-coupling limit, they generate a square-root-type fixed branch point near the origin of the complex angular momentum plane.

Riassunto

Si studia l’equazione di Bethe-Salpeter generata da un grafico non piano « unitario » (con due linee incrociate) in due casi di scattering di bosoni privi di spin: I) tramite un’interazione ϕ³ eII) tramite scambio di mesoni vettoriali. Nel caso I), essendo a_i (i =1, 2, 3, 4) i parametri di Feynman assegnati a questo grafico, si dà la dimostrazione generale che la totalità dei contributi ad f(a) = 0 dall’interno dello spazioa, possono essere associati ad un Potenziale singolare che genera un punto di accumulazione di Gribov-Pomeranchuk con segno pari dell’ampiezza inl =— 1. D’altra parte si dimostra che i contributi a f(a) = 0 dai contorni dello spazio α generano un gruppo di poli mobili perl complesso; si determinano alcune proprietà delle corrispondenti traiettorie. Nel casoII) un analogo procedimento consente di deflnire un potenziale « singolare » in funzione dei contributi di f(a)= 0. Si dimostra che alcune parti di questo potenziale possono essere connesse a traslazioni di tipo spin di una singolarità di Gribov-Pomeranchuk in l=l, ma che il contributo completo è regolare in questo punto. Infine si esaminano i contributi daf(a)≠ 0; per una forma semplifioata (ma caratteristica) si dimostra che, nel limite dell’accoppiamento debole, essi generano un punto di diramazione flsso di tipo radice quadrata presso l’origine del piano del momento angolare complesso.