A general method, for investigation of the scattering by « nonphysical » potentials

Summary

A general method for investigation of the scattering by practically arbitrary « nonphysical » potentials λV(r) with short range is given which is illustrated by the example of the nonrelativistic scattering but is applicable also, after corresponding modification, to the relativistic and Bethe-Salpeter potential scatterings. We obtain a Volterra integral equation for the partial wave function ϕ_λ(l,s,r) and an explicit form for the partial wave amplitudeF _λ(l,s) which is convenient for investigation of the analytic properties ofF _λ(l,s) with respect to different variables. One shows thatF _λ(l,s) inevitably has a unmoving singularity of the root (and only root) type in the variable λ at the point λ=0 and, with the same inevitability, an essential singularity in the variables at infinity. This latter makes impossible both the Mandelstam and even the one-dimensional dispersion relations for the total amplitudeT _λ(l, s). The situation for the realistic field theory scattering is discussed.

Riassunto

Si espone un metodo per lo studio dello scattering su potenziali « non flsici » λV(r), praticamente arbitrari, di breve portata che si illustra oon l’esempio dello scattering non relativistico, ma è anche applicabile dopo adatte modificazioni agli scattering relativistici e su potenziali di Bethe-Salpeter. Otteniamo un’azione integrale di Volterra per la funzione dell’onda parziale ϕ_λ(l,s,r) e una forma esplicita per l’ampiezza dell’onda parzialef _λ(l, s) utile per l’indagine delle proprietà analitiche dif _λ(l, s) rispetto alle differenti variabili. Si dimostra che f_λ(l,s) ha inevitabilmente una singolarità immobile del tipo di una radice (e solo di tal tipo) nella variabile λ nel punto λ = 0 e, altrettanto inevitabilmente, una singolarità nella variabiles all’infinito. Quest’ultima rende impossibile sia le relazioni di dispersions di Mandelstam che quelle unidimensionali per l’ampiezza totaleT _λ(l,s). Si discute la situazione che ne risulta per lo scattering reale nella teoria dei campi.