A model for the connected part of the three-body amplitude

Summary

After a review of the conflicting results of some of the previous work on the analytic properties of the various nonrelativistic three-body amplitudes as functions of total energy and total angular momentum, a model involving separable interactions is proposed and the amplitude describing the scattering of three free particles into three free particles is constructed rigorously and exactly. That analytic continuation to complex total angular momentum,j, through an orbital angular momentum is taken, which some mathematically incomplete investigations have used to conclude meromorphy in the total angular momentum. In fact, this continuation does not produce an amplitude meromorphic inj but one which does not have a dominating Regge-type singularity. As a result a Sommerfeld-Watson transformation cannot be used to provide information about the asymptotic behavior as a momentum transfer tends to infinity. On the basis of this and previous work on the same model for the bound-state parts of the three-body amplitude, the analytic properties of all the three-body amplitudes are summarized. The Regge mechanism of asymptotic dominance appears valid only for the elastic bound-state scattering amplitude and even here there is competition between a pole and a cut.

Riassunto

Dopo una rassegna dei risultati contrastanti di alcuni artieoli precedenti Bulle proprietà analitiche delle varie ampiezze di tre corpi non analitiche in funzione dell’energia, totale e del momento angolare totale, si propone un modello che comporta interazion separabili e si costruisce rigorosamente ed esattamente l’ampiezza che descrive lo scattering di tre particelle libere in tre particelle libere. Si prende quella continuazione analitica del momento angolare totale complesso,j, tramite un momento angolare orbitale, che è stata usata in alcuni studi matematicamente incompleti per concludere per l’esistenza della meromorfia del momento angolare totale. In effetti questa continuazione non produce un’ampiezza meromorfica inj ma una che non ha una singolarità dominante del tipo di Regge. Ne consegue che non si puo usare una trasformazione di Sommerfeld-Watson per dare informazioni sul oomportamento asintotico quando un momento trasferito tende all’innnito. Sulla base di questo e degli articoli precedenti sullo stesso modello per le parti dello stato legato dell’ampiezza di tre corpi, si riassumono le proprietà analitiche di tutte le ampiezze di tre corpi. Sembra che il meccanismo di Regge della dominanza asintotica sia valido solo per l’ampiezza di scattering elastico dello stato legato ed anche qui c’è competizione fra un polo ed un taglio.