Gauge invariance, the vertex function, and the magnitude of the renormalization constants of quantum electrodynamics

Summary

Using the Gupta-Bleuler formalism for quantum electrodynamics, we have proven that the regularized second-order vertex function, in the limit of high momentum-transferP ², on the mass shell, is given by γ_Μ C logP ² rather than γ_Μ. This proves that the assumption ofG. KÄllén that the renormalized vertex function tends to Z_1γΜ in the above limit, is not valid to second order in the Feynman gauge. Since the KÄllén formalism is the proper renormalization of the Feynman gauge, this indicates that KÄllén’s assumption is not valid in the KÄllén gauge. The failure of this assumption would invalidate KÄllén’s proof that a completely finite theory of quantum electrodynamics cannot be formulated in a consistent way. Our examination of the asymptotic behavior of the vertex function was motivated by the research ofB. Zumino andK. Johnson, who objected to the lack of gauge invariance in KÄllén’s proof. Zumino, in particular, has pointed out that the assumption of KÄllén concerning the high momentum-transfer behavior of the renormalized vertex function was not gauge-invariant, and that the assumption was therefore not likely to be true in the KÄllén gauge. The gauge transformations that produce changes in the propagators, and therefore produce changes in the magnitude of the renormalization constants, were first given byLandau andKhalatnikov. Their derivation of the transformation formulas for the propagators from an operator gauge-transformation, was considered dubious byZumino, who derived the same formulas using his functional formulation for quantum electrodynamics. We have formulated a valid operator gauge-transformation that reproduces the Landau transformations for the propagators. Our operator gauge-transformation introduces a set of noninteracting scalar fields in a Hubert space which has an indefinite metric. In theories which do not have a Ward identity, the high-momentum limit of the renormalized vertex function has sometimes been taken as the definition of Z₁. We have shown that this is not correct for the vector meson, but that it may be valid for the pseudoscalar meson, when these mesons interact with a spinor field.

Riassunto

Facendo uso del formalismo di Gupta-Bleuler per l’elettrodinamica quantistica, st dimostra che la funzione di vertice del secondo ordine regolarizzata, nel limite di un grande impulso trasferito P², sul guscio della massa, è espressa da γ_ΜG log P² piuttosto che da γ_Μ. CiÒ dimostra che l’ipotesi diG. KÄllén secondo oui la funzione di verticerinormalizzata tende a Z_{1γ Μ} entro il suddetto limite, non è valida nel secondo ordine del gauge di Feynman. Poichè il formalismeo di KÄllén consiste in una opportuna rinormalizzazione del gauge di Feynman, questo indica che l’ipotesi di Kallén non è valida nel gauge di KÄllén. Il fallimento di questa ipotesi sembrerebbe invalidare la dimostrazione di KÄllén secondo cui non si puÒ formulare in modo conseguente una teoria. completaménte finita dell’elettrodinamica quantistica. Questo esame del comportamento asintotioo della funzione di vertice è stato originato dalla rioeroa diB. Zumino eK. Johnson, che mossero obiezioni alla mancanza di invarianza di gauge nella dimostrazione di Kallén. Zumino, in particolare, ha messo in evidenza che l’ipotesi di KÄllén circa il comportamento per grandi impulsi trasferiti della funzione di vertice rinormalizzata non era invariante di gauge, e che quindi era verosimile che l’ipotesi non fosse vera nel gauge di KÄllén. Le trasformazioni di gauge che producono cambiamenti nei propagatori, e quindi producono variazioni nella grandezza delle costanti di rinormalizzazione, sono state esposte per la prima volta daLandau eKhalatnikov. La loro deduzione delle formule di trasformazione per i propagatori dalle trasformazioni di gauge di un operatore, è stata considerata criticabile da Zumino, che ha dedotto le stesse formule facendo uso della sua formulazione funzionale dell’elettrodinamica quantistica. Si formula qui una valida trasformazione di gauge dell’operatore che riproduce le trasformazioni dei propagatori proposte da Landau. La nostra trasformazione di gauge dell’operatore introduce un gruppo di campi scalari non interagenti in uno spazio hilbertiano che ha una metrica indefmita. Nelle teorie che non hanno un’identità di Ward, si è preso talvolta come definizione diZ ₁ il limite della funzione di vertice rinormalizzata ai grandi impulsi. Abbiamo dimostrato che questo non è corretto per il mesone vettoriale, ma che puÒ essere valido per il mesone pseudoscalare, quando questo mesone interagisce con un campo spinoriale.