On the uniqueness of the position operator for relativistic elementary systems

Summary

The regularity condition first introduced by Newton and Wigner is here re-examined in some detail for the case of a relativistic elementary system [m≠0, s]. Three different types of normalizable sequences ψ_n approaching some localized state ψ_a are considered, namely: A) {ie413-01} in the topology of {ie413-02} uniformly on any compact set; and C) ψ _nare characteristic functions inq-space with compact supports such that supp_q ψ_n⊃ supp_g ψ_n+1 ) a, μ(supp_q ψ_n)→ 0. It is then proved that even the ∞-order regularity condition is satisfied by all possible position operatorsQ if A) sequences are allowed, while the restriction toB) or C) sequences rendersQ unique as soon as the 2nd order regularity condition is imposed. Finally a different but related abstract characterization is provided for the standardQ ⁽⁰⁾as being that (unique) position operator for whichQ ²is essentially selfadioint when restricted to the domain {ie413-03}

Riassunto

Nel caso di un sistema elementare relativistico (m≠O, s) si riesamina in dettaglio la condizione di regolarità, introdotta per primi da Newton e Wigner. Si prendono in considerazione tre diversi tipi di sequenze normalizzabili ψ_n, che approssimano uno stato looalizzato ψ_a, cioè: A, {ie422-01} nella topologia di {ie422-02} uniformemente su ogni gruppo compatto ; eC, ψ _nsono funzioni caratteristiclie nello spazioq con supporti compatti, tali che {ie422-03}. Si dimostra poi che anche la condizione di regolarità di ordine ∞ è soddisfatta da tutti i possibili operatori di posizioneQ se si ammettono le sequenzeA, mentre la restrizione alle sequenzeB o C rendeQ unico non appena si impone la condizione di regolarità di secondo ordine. Inline si dà una caratterizzazione astratta diversa, collegata alla précédente, per ilQ ⁽⁰⁾standard, cioè per quell’(unico) operatore di posizione per cui Q² è essenzialmente autoaggiunto quando è ristretto al dominio {ie422-04}