Singular integral operators with integral eigenvalues and polynomial eigenfunctions

Summary

The singular integral operatorA defined by the formula is investigated. In particular it is shown that, if and only ifa(x)=1−x ²)^1/2[1+α/(1−x)+β/(1+x)], the eigenfunctions ofA are polynomials (of degreen=0, 1, 2, 3 ...) and the corresponding eigenvalues are just the nonnegative integersn. Some other related results are also reported, including certain neat integral relationships satisfied by the Tchebichef polynomials of the second kind.

Riassunto

Si studiano alcune proprietà dell'operatore integrale singolareA definito dalla formula. In particolare si dimostra che, se e solo sea(x)=(1−x ²)^1/2[1+α/(1−x)+β/(1+x)], le autofunzioni diA sono polinomi (di gradon=0, 1, 2, 3, ...) ed i corrispondenti autovalori sono proprio i numeri (interi non negativi)n. Si riporta anche qualche altro risultato connesso a questi, comprese alcune semplici relazioni integrali soddisfatte dai polinomi di Tchebichef del secondo tipo.

Резюме

Исследуется сингулярный интегральный операторA, определенный выражениемA В частности, показывается, что если то собственные функцииA являютося полиномами (степениn,n=0, 1, 2, ...); и соответствующие собственные значения неотрицательные целые числаn. Приводятся другие результаты, включающие (новое) интегральное соотношение, которому удовлетворяют полиномы Чебышева второго рода.