Variational and statistical methods for an electron plasma with self-consistent field interaction

Summary

The Lagrange and Hamilton functions, and the Liouville equation are developed for an adiabatic electron plasma in which the charged particles interact by the self-consistent electric field. The electrohydrodynamic field equations are obtained by variation of the Lagrangian and functional derivation of the Hamiltonian. As an application, the statistical distribution function of the fluctuations in the Lagrangian conjugate fields is derived for the case of fully developed turbulence as that solution of the Liouville equation which maximizes the entropy of turbulence. It is shown that the statistical distribution is in form quasi-Gaussian relative to the velocity field fluctuations and the electric field fluctuations. The deviations from the Gaussian are produced by nonlinear terms of higher order resulting from adiabatic density and electric field fluctuations.

it]Riassunto

Si sviluppano le funzioni di Lagrange e di Hamilton e l’equazione di Liouville per un plasma di elettroni adiabatico in cui le particelle cariche interagiscono per mezzo di campi elettrici autocoerenti. Si ottengono le equazioni di campo elettroidrodinamiche mediante variazione del lagrangiano e derivazione funzionale dell’hamiltoniano. Come applicazione si deduce la funzione di distribuzione statistica delle fluttuazioni nei campi coniugati lagrangiani nel caso di una turbolenza completamente sviluppata come quella soluzione dell’equazione di Liouville che rende massima l’entropia della turbolenza. Si mostra che la distribuzione statistica è in una forma quasi gaussiana rispetto alle fluttuazioni del campo delle velocità ed alle fluttuazioni del campo elettrico. Le deviazioni dalla gaussiana sono prodotte da termini non lineari di ordine maggiore risultanti dalle fluttuazioni della densità adiabatica e del campo elettrico.

РЕжУМЕ

ВыВОДьтсь ФУНкцИИ лА гРАНжА И гАМИльтОНА И УРАВНЕНИЕ лИУВИлль Дль АДИАБАтИЧЕскОИ Ё лЕктРОННОИ плАжМы, В к ОтОРОИ жАРьжЕННыЕ ЧАстИцы В жАИМОДЕИстВУУт ЧЕРЕж сАМО-сОглАсОВА ННОЕ ЁлЕктРИЧЕскОЕ п ОлЕ. пОлУЧАУтсь ЁлЕктРОг ИДРОДИНАМИЧЕскИЕ пОлЕВыЕ УРАВНЕНИь В Р ЕжУльтАтЕ ВАРИАцИИ л АгРАНжИАНА И ФУНкцИОНАльНОгО ДИФФЕРЕНцИРОВАНИь г АМИльтОНИАНА. кАк пРИ лОжЕНИЕ ВыВОДИтсь стАтИстИЧЕскАь ФУНк цИь РАспРЕДЕлЕНИь Фл УктУАцИИ В сОпРьжЕННых пОльх Дл ь слУЧАь пОлНОстьУ РАжВИтОИ т УРБУлЕНтНОстИ, кАк тО РЕшЕНИЕ УРАВНЕНИь лИУВИлль, к ОтОРОЕ МАксИМИжИРУЕт ЁНтРО пИУ тУРБУлЕНтНОстИ. п ОкАжыВАЕтсь, ЧтО стАтИстИЧЕскОЕ Р АспРЕДЕлЕНИЕ Дль ФлУктУАцИИ пОль с кОРОстЕИ И ФлУктУАцИ И ЁлЕктРИЧЕскОгО пОль ИМЕЕт кВАжИ-гАУссОВУ ФОРМУ. ОтклОНЕНИь От РАспРЕ ДЕлЕНИь гАУссА ОБУслОВлЕНы Н ЕлИНЕИНыМИ ЧлЕНАМИ БОлЕЕ ВысОкО гО пОРьДкА, ВОжНИкАУЩ ИМИ Иж АДИАБАтИЧЕскИх ФлУк тУАцИИ плОтНОстИ И ЁлЕктРИЧ ЕскОгО пОль