Classical Poincaré and Galilei invariant Hamiltonian two-particle interactions with commuting position variables

Summary

A five-dimensional space-time formalism is used to describe relativistic and nonrelativistic two-particle interactions in a unified way. The system is assumed to have six degrees of freedom and to admit a Poincare or Galilei invariant symplectic structure such that position coordinates commute under Poisson brackets if they are «measured» on the standard simultaneous initial-value surface in the Galileian and on an advanced-retarded surface in the Poincaré invariant case. The most general of such interactions is found. It is characterized uniquely in the relativistic case by one function of three variables and a constant that vanishes when invariance under space reflection is required. The Galilei invariant systems that are limits of such relativistic ones comprise all the standard classical interactions.

Riassunto

Si usa un formalismo pentadimensionale dello spazio-tempo per descrivere le interazioni a due particelle relativistiche e non in una maniera unificata. Si suppone die il sistema abbia sei gradi di libertà e che ammetta una struttura simplettica invariante di Poincaró o Galilei tale che le coordinate di posizione commutino secondo le parentesi di Poisson, se sono «misurate» sulla superficie simultanea del valore iniziale standard nel caso invariante di Galilei o su quella avanzata-ritardata nel caso invariante di Poincaré. Si trova la più generale di tali interazioni. Essa è caratterizzata unicamente nel caso relativistico da una funzione di tre variabili e da una costante che si annulla quando si richiede invarianza secondo le riflessioni dello spazio. I sistemi invarianti di Galilei che sono limiti di tali interazioni relativistiche comprendono tutte le interazioni classiche standard.

Резюме

Используется пятиме рный пространственно-вре менной формализм для описания релятивист ских и нерелятивистс ких двух-частичных взаим одействий единым образом. Предполагае тся, что система имеет шесть степеней свободы и до пускает обладающую инвариан тностью Пуанкаре или Галилея симплексную структу ру, такую, что координаты положения коммутиру ют относительно скобок Пуассона, если они «измерены» н а стандартной поверх ности для одновременной начал ьной величины в Галилево-и нвариантном случае и на продвинутой-запазды вающей поверхности в Пуанка ре-инвариантном случ ае. Получается наиболее общее взаимодействие. Это в заимодействие харак теризуется в релятивистском случ ае одной функцией трех переме нных и постоянной, кот орая исчезает, когда требу ется инвариантность отно сительно отражений. Галилеево-инвариант ные системы, которые являются пре дельными случаями та ких релятивистских взаи модействий, охватывают все станд артные классические взаимодействия.