On the Helmholtz conditions for the existence of a Lagrange formalism

Summary

The Helmholtz conditions are necessary and sufficient for a given set ofn second-order ordinary differential equations to be derivable from a variational principle of Hamilton's type. Two alternative forms are given which make practical verification less tedious for largen, and permit an easy construction of the Lagrangian. The equivalence to the analogous conditions in Hamilton's formalism is proved.

Riassunto

Le condizioni di Helmholtz sono necessarie e sufficienti perchè un dato sistema din equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine sia deducibile da un principio variazionale del tipo di Hamilton. Si danno due forme alternative che rendono meno noiosa la verifica pratica pern grande, e permettono una facile costruzione del lagrangiano. Si dimostra l'equivalenza con le analoghe condizioni nel formalismo di Hamilton.

Резюме

Условия Гельмгольца являются необходимыми и достаточными для вывода заданной системыn обыкновенных дифференциальных уравненйи второго порядка из вариационного принципа Гамильтона. Приводятся две альтернативные формы, которые делают практическую проверку менее громоздкой для большихn и позволяют легко сконструировать Лагранжиан. Доказывается эквивалентность полученных выражений аналогичным условиям в гамильтоновом формализме.